Une parabole est le lieu des points équidistants d’un point donné et d’une droite donnée, ou encore l’intersection d’un cône de révolution et d’un plan parallèle à l’une de ses génératrices. C’est aussi la courbe représentative d’une fonction polynôme P de degré 2.
I. Équation et parabole
Soit a, b et c trois réels avec a ≠ 0, P la fonction définie sur ℝ par P(x) = ax2 + bx + c. La courbe 𝒞 d’équation y = P(x) est une parabole.
La parabole est tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.
Elle admet pour axe de symétrie la droite d’équation x=–b2a.
Son sommet S a pour coordonnées (α ; β), avec α=–b2a et β=P(–b2a).
En notant Δ le discriminant de P (rappel : Δ = b2 – 4ac) :
– si Δ < 0, 𝒞 ne coupe pas l’axe des abscisses ;
– si Δ = 0, 𝒞 est tangente à l’axe des abscisses ;
– si Δ > 0, 𝒞 coupe l’axe des abscisses en deux points distincts.
II. Position de la courbe
Allure de 𝒞 selon le signe du discriminant Δ et du coefficient dominant a :
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Δ < 0 |
Δ = 0 |
Δ > 0 |
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a < 0 |
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a > 0 |
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Méthode
Reconnaître la parabole représentant une fonction polynôme du second degré donnée
Soit P la fonction définie sur ℝ par P(x) = 2x2 + x – 3.
On appelle 𝒞 la parabole représentant la fonction P, E le point d’intersection de 𝒞 avec l’axe des ordonnées et S le sommet de la parabole 𝒞. On admet que 𝒞 coupe l’axe des abscisses en deux points distincts A et B.
a. Reconnaître, parmi les trois courbes ci-dessous, la parabole 𝒞.
b. Calculer les coordonnées exactes des points A, B, E et S.
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Figure 1 |
Figure 2 |
Figure 3 |
Conseil
On pose P(x) = ax2 + bx + c, donc a = 2, b = 1, c = –3.
a. Le signe de a donne « l’orientation » de𝒞 (« vers le haut » ou « vers le bas »). L’ordonnée du point E est P(0). Les abscisses des points A et B sont les solutions de l’équation P(x) = 0, le calcul de leur produit permet de savoir si ces deux solutions sont de même signe ou de signes contraires.
b. Calculer le discriminant de P(x) et appliquer les formules.
Solution
a. a > 0, donc 𝒞 est « tournée vers le haut », ce qui élimine la figure 2.
Le produit des deux solutions de l’équation P(x) = 0 est ca=–32. Il est négatif, donc les deux solutions sont de signes contraires et les points A et B ont des abscisses de signes contraires ; la courbe 𝒞 est représentée sur la figure 3. On peut aussi remarquer que P(0) = –3, donc E a une ordonnée négative.
b. E a pour coordonnées (0 ; P(0)), c’est-à-dire (0 ; –3). S a pour coordonnées (–b2a;P(–b2a)), soit (–14;–258). Le discriminant est Δ = 25, les solutions de l’équation P(x) = 0 sont 1 et –32, A et B ont pour coordonnées (–32;0) et (1 ; 0).
Vérifiez que vous avez bien compris les points clés des fiches 27 à 29.