Limites et continuité

Certaines courbes peuvent être tracées sans lever le crayon, d’autres pas. On peut retrouver ce critère grâce à l’étude de la continuité de la fonction associée à la courbe.

I. Définitions – Propriétés

Définition : Soit x₀ un réel appartenant à un intervalle I. Une fonction f définie sur I est continue en x₀ si f admet une limite finie en x_0. Cette limite est alors f(x₀).

Une fonction f définie sur un intervalle I est continue sur I si f est continue en tout point de I.

Contre-exemple : La fonction ci-contre est continue sur ]− 2 ; 0] et sur ]0 ; 2] mais pas sur tout l’intervalle [− 2 ; 2].

Exemples :

Les fonctions polynômes sont continues sur ℝ.

La fonction x↦$\sqrt x$ est continue sur [0 ; + ∞[.

La fonction exponentielle est continue sur ℝ.

Les fonctions rationnelles sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition.

Toute fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur I.

II. Théorèmes des valeurs intermédiaires et de la bijection

Théorème des valeurs intermédiaires

Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I, et a et b deux réels de I.

Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c)=k.

Remarque : Cela revient à dire que, si k est compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x)=k admet au moins une solution comprise entre a et b.

Corollaire : théorème de la bijection

Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x)=k a une solution unique dans [a ; b].

Conseils

Pour démontrer ce résultat, appliquez le théorème de la bijection avec k = 0.

Étape 1 Explicitez la fonction f à laquelle on souhaite appliquer ce théorème.

Étape 2 Vérifiez toutes les hypothèses nécessaires :

f est continue sur [a ; b] ; f est strictement monotone sur [a ; b] et 0 est compris entre f(a) et f(b).

Étape 3 Appliquez le théorème de la bijection et conclure.

Solution

Étape 1 On introduit la fonction f définie par f(x)=− x³+x²−x+2.

Résoudre l’équation (E) revient à résoudre f(x)=0.

Étape 2

f est une fonction polynôme donc f est continue sur ℝ, et en particulier sur [1 ; 2].

Pour montrer que f est strictement monotone, on commence par déterminer la dérivée de f. Étant une fonction polynôme, f est dérivable sur [1 ; 2] et, pour tout x de [1 ; 2], on a f′(x)=− 3x²+2x−1.

Le discriminant du polynôme du second degré f ′(x) est 2²−4×(− 3)×(− 1)=− 8. Il est négatif, donc f ′(x) est toujours du signe du coefficient de x² (a = −3), c’est-à-dire négatif. La fonction f est donc strictement décroissante sur [1 ; 2].

f(1)=− 1+1−1+2=1 et f(2)=− 8+4−2+2=− 4.

Donc 0 est bien compris entre f(1) et f(2).

D’après le théorème de la bijection, l’équation f(x)=0 admet une unique solution sur [1 ; 2].

À noter

On peut remarquer ici que f étant décroissante sur [1 ; 2], l’image par f de [1 ; 2] est [f(2) ; f(1)]=[− 4 ; 1].