Les nombres complexes peuvent être représentés graphiquement dans le plan orienté muni d’un repère orthonormé direct. À tout nombre complexe, on peut associer un unique point du plan.
Le plan orienté est muni d’un repère orthonormé direct O ; u→, v→, c’est-à-dire orienté dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
I. Image d’un nombre complexe et affixe d’un point
Soit un nombre complexe z=a+ib avec a ; b∈ℝ2.
Le point M de coordonnées (a ; b) dans le repère O ; u→, v→ est appelé l’image du nombre complexe z dans le plan.
Soit M un point de coordonnées (a ; b) dans le repère O ; u→, v→.
Le nombre complexe z=a+ib est appelé l’affixe du point M.
On peut résumer ce qui précède par :
M est l’image de z ⇔ z est l’affixe de M
On peut donc noter sans ambiguïté M(z) le point M d’affixe z.
Cette équivalence permet de considérer le plan orienté muni d’un repère orthonormé direct comme une « représentation » de l’ensemble des nombres complexes. On le nomme aussi parfois plan complexe.
À noter
L’axe des abscisses est appelé l’axe réel (tous ses points ont une affixe réelle) et l’axe des ordonnées est appelé l’axe imaginaire pur (tous ses points ont une affixe imaginaire pure).
II. Affixe d’un vecteur
Soit w→ un vecteur de coordonnées (a ; b) dans le repère O ; u→, v→.
Le nombre complexe z=a+ib est appelé l’affixe du vecteur w→, noté w→z.
En particulier, si M a pour affixe z, alors OM→ a aussi pour affixe z.
Les vecteurs w→ et OM→ sont les images vectorielles de z.
Soient w1→z1 et w2→z2 deux vecteurs.
Le vecteur w1→+w2→ a pour affixe z1+z2.
Soient M1z1 et M2z2 deux points.
M1M2→ a pour affixe z2−z1.
Le milieu I du segment [M1M2] a pour affixe à zI=z1+z22.
Méthodes
1) Déterminer des affixes
On considère les points M1 d’affixe z1=3−3i et M2 d’affixe z2=− 5+i.
a. Calculer l’affixe du point M′1, le symétrique de M1 par rapport à l’axe des réels.
b. On pose w→=OM1→. Déterminer l’affixe du vecteur w→ ?
c. Déterminer l’affixe zI du milieu I de [M1M2].
Conseils
a. Si le point M a pour affixe z, son symétrique M′ par rapport à l’axe des réels a pour affixe z¯.
Solution
a. Si le point M1 a pour affixe z1=3−3i, son symétrique M′1 par rapport à l’axe des réels a pour affixe z1¯=3+3i.
b. L’affixe de w→ est celui de OM1→, c’est-à-dire z1=3−3i.
c. Le milieu I de [M1M2] a pour affixe zI=z1+z22=3−3i+(−5+i)2=−1−i.
2) Déterminer des images et des affixes
a. Placer les images A, B, C, D des nombres complexes :
b. Déterminer l’affixe zBD→ du vecteur BD→ et l’affixe zI du milieu I de AC.
Conseils
Pour les deux questions, utilisez les définitions et propriétés du cours.
Solution
a. Le point A est l’image du nombre complexe zA=1+3i, donc A a pour coordonnées (1 ; 3).
De même, on obtient C− 3 ; − 2 et D(1 ; − 3).
b. zBD→=zD−zB=1−3i−−2+i=1−3i+2−i=3−4i