Fonctions trigonométriques

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Les fonctions trigonométriques interviennent souvent en physique. Elles s’étudient comme n’importe quelle fonction, et le recours au cercle trigonométrique permet de résoudre rapidement des équations et inéquations.

I. Fonction cosinus

La fonction cosinus, notée cos, est définie sur ℝ.

Pour tout réel x, cos(−x)=cosx, la fonction cosinus est paire, l’axe des ordonnées est axe de symétrie de sa courbe représentative.

Pour tout réel x, cos(x+2π)=cosx, la fonction cosinus est périodique de période , sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur 2πi →.

Tableau de variations sur [0 ; π]

5dbdb3b6-9261-4212-ad98-6f092eb4f312

Courbe représentative

d1157fce-6af3-4200-a695-f14aac54992c

II. Fonction sinus

La fonction sinus, notée sin, est définie sur ℝ.

Pour tout réel x, sin(−x)=−sinx, la fonction sinus est impaire, l’origine O du repère est centre de symétrie de sa courbe représentative.

Pour tout réel x, sin(x+2π)=sinx, la fonction sinus est périodique de période , sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur 2πi →.

Tableau de variations sur [0 ; π]

3d5b574c-0cba-4cdf-a304-91ad88b17d3a

Courbe représentative

77743bea-fd6f-4617-ba86-0b729b48c86d

III. Dérivée des fonctions cosinus et sinus

Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur ℝ, et pour tout réel x :

cos′x=−sinx et sin′(x)= cosx

Les limites des taux d’accroissement en 0 des fonctions sinus et cosinus donnent :

limx→0sinxx=1 et limx→0cosx−1x=0

À noter

Si u est une fonction dérivable sur I, alors cosu et sinu sont dérivables sur I, et cos u′=−u′×sin u et sin u′=u′×cos u. ()

Méthode

Résoudre une inéquation

 

Conseil

Aidez-vous d’un cercle trigonométrique et utilisez les variations de la fonction cos.

Solution

La fonction cos est croissante sur ]−π ; 0] et décroissante sur [0 ; π].

De plus, cos−π3=cosπ3=12.

Sur [0 ; π], cosx≥12⇔0≤x≤π3.

Finalement, sur ]−π ; π], cosx≥12⇔x∈−π3 ; π3.

S=−π3 ; π3.

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