Les fonctions trigonométriques interviennent souvent en physique. Elles s’étudient comme n’importe quelle fonction, et le recours au cercle trigonométrique permet de résoudre rapidement des équations et inéquations.
I. Fonction cosinus
La fonction cosinus, notée cos, est définie sur ℝ.
Pour tout réel x, cos(−x)=cosx, la fonction cosinus est paire, l’axe des ordonnées est axe de symétrie de sa courbe représentative.
Pour tout réel x, cos(x+2π)=cosx, la fonction cosinus est périodique de période 2π, sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur 2πi →.
Tableau de variations sur [0 ; π]
Courbe représentative
II. Fonction sinus
La fonction sinus, notée sin, est définie sur ℝ.
Pour tout réel x, sin(−x)=−sinx, la fonction sinus est impaire, l’origine O du repère est centre de symétrie de sa courbe représentative.
Pour tout réel x, sin(x+2π)=sinx, la fonction sinus est périodique de période 2π, sa courbe représentative est invariante par translation de vecteur 2πi →.
Tableau de variations sur [0 ; π]
Courbe représentative
III. Dérivée des fonctions cosinus et sinus
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur ℝ, et pour tout réel x :
cos′x=−sinx et sin′(x)= cosx
Les limites des taux d’accroissement en 0 des fonctions sinus et cosinus donnent :
limx→0sinxx=1 et limx→0cosx−1x=0
À noter
Si u est une fonction dérivable sur I, alors cosu et sinu sont dérivables sur I, et cos u′=−u′×sin u et sin u′=u′×cos u. ()
Méthode
Résoudre une inéquation
Conseil
Aidez-vous d’un cercle trigonométrique et utilisez les variations de la fonction cos.
Solution
La fonction cos est croissante sur ]−π ; 0] et décroissante sur [0 ; π].
De plus, cos−π3=cosπ3=12.
Sur [0 ; π], cosx≥12⇔0≤x≤π3.
Finalement, sur ]−π ; π], cosx≥12⇔x∈−π3 ; π3.
S=−π3 ; π3.
