Fonctions convexes

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L’étude de la convexité d’une fonction permet d’apporter des précisions sur la position de la courbe par rapport à ses tangentes.

I. Convexité d’une fonction

Définition : Une fonction f définie sur un intervalle I est dite convexe si la courbe Cf représentant f est située au-dessous de chacune de ses cordes.

À noter

On appelle corde de la courbe C f représentant f tout segment AB où A et B sont deux points de C f.

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Remarque : Une fonction f est dite concave sur un intervalle I si −f est convexe sur I. Attention, si f n’est pas convexe sur I alors f n’est pas forcément concave sur I.

Définitions équivalentes : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et soit C sa courbe représentative.

f est convexe sur I si et seulement si C est au-dessus de ses tangentes.

f est convexe sur I si et seulement si f′ est croissante sur I.

II. Dérivée seconde d’une fonction

Définition : Soient f une fonction dérivable sur un intervalle I et f′ sa dérivée sur I. Si f′ est dérivable sur I, on appelle dérivée seconde de f sur I, la dérivée de f′ sur I. On note cette dérivée seconde f″.

Propriété : f est convexe sur un intervalle I si et seulement si f″ est positive sur I.

III. Point d’inflexion d’une courbe

Définition : Soient f une fonction définie sur un intervalle I et C sa courbe représentative. On appelle point d’inflexion de C, tout point de C en lequel f change de convexité (elle passe de convexe à concave ou inversement).

Théorèmes :

Soit a un réel de l’ensemble de définition de f. Si f est une fonction deux fois dérivable sur I, le point Ia ; fa est un point d’inflexion de C si et seulement si f″ s’annule et change de signe en a.

Si f est dérivable sur I, le point Ia ; fa est un point d’inflexion de C si et seulement si C traverse sa tangente en I.

Méthodes

1) Étudier la convexité d’une fonction

On considère la fonction f définie sur ℝ par fx=3x2−4x+1.

Étudier la convexité de f sur ℝ.

Conseils

Étudiez la dérivabilité de f et f′ sur ℝ et le signe de f″.

Solution

f est une fonction polynôme donc f est deux fois dérivable sur ℝ.

f″x>0 pour tout x réel, la fonction f est donc convexe sur .

2) Déterminer des points d’inflexion

Soit f la fonction définie sur ℝ par fx=2xx2+2 et soit C sa courbe représentative. Étudier l’existence éventuelle de points d’inflexion.

Conseils

Pour déterminer les éventuels points d’inflexion de la courbe représentative d’une fonction f dérivable deux fois sur un intervalle I, il suffit de :

Étape 1 calculer f″x ;

Étape 2 résoudre l’équation f″x=0 ;

Étape 3 étudier le signe de f″x et déterminer si f″ change de signe en chacune des éventuelles solutions de l’équation f″x=0.

Solution

Étape 1 f est deux fois dérivable sur ℝ. Pour tout réel x :

et f(x)f{\prime\prime}(x)

=\frac{−4x(x^2+2)^2−(−2x^2+4)(2\times2x(x^2+2))}{(x^2+2)^4}

=\frac{4x(x^2−6)}{(x^2+2)^3}

Étape 2 f″x=0 équivaut à : 4xx2−6=0, soit x=0 ou x2=6.

L’équation f″x=0 a donc trois solutions : 0 ; 6 et − 6.

Étape 3 f″x s’annule et change de signe en −6, en 0 et en 6. C admet donc trois points d’inflexion dont les abscisses sont −6, 0 et 6.

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