Équations du second degré dans ℂ à coefficients réels

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Certaines équations du second degré n’ont pas de solution dans ℝ. Dans ℂ, toutes ont deux solutions, distinctes ou confondues, donc tout trinôme du second degré peut être factorisé.

I. Forme canonique d’un trinôme az2 + bz + c = 0, a ≠ 0

Une équation du second degré dans ℂ à coefficients réels est une équation de la forme az2+bz+c=0az^2 + bz + c = 0, où aa, bb et cc sont trois nombres réels avec a≠0a \ne 0, et où l’inconnue zz est un nombre complexe.

La forme canonique du trinôme du second degré az2+bz+caz^2+bz+c est :

az2+bz+c=a((z+b2a)2−b2−4ac4a2)az^2 + bz + c = a \big((z+\dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{b^2- 4ac}{4a^2}\big)

az2+bz+c=a((z+b2a)2−Δ4a2)az^2+bz+c = a\big((z+\dfrac{b}{2a})^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\big)

où Δ=b2−4ac\Delta =b^2 - 4ac est le discriminant de l’équation (ou du trinôme) du second degré.

II. Résolution dans ℂ de l’équation az2 + bz + c = 0, a ≠ 0

On étudie le signe du discriminant Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac.

1er cas : \Delta > 0

az2+bz+c=a(z−−b+Δ2a)(z−−b−Δ2a)az^2 + bz + c = a \big(z - \dfrac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a} \big) \big(z - \dfrac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a} \big) car Δ=(Δ)2\Delta = (\sqrt{\Delta})^2.

Les solutions sont z1=−b+Δ2az_1 = \dfrac{-b +\sqrt{\Delta}}{2a} et z2=−b−Δ2az_2 = \dfrac{-b -\sqrt{\Delta}}{2a}, qui sont deux nombres réels distincts.

2e cas : Δ=0\Delta = 0

az2+bz+c=a(z+b2a)2az^2 + bz + c = a \big( z + \dfrac{b}{2a} \big)^2.

La solution, dite double, est z0=−b2az_0=\dfrac{-b}{2a}, qui est un nombre réel.

3e cas : \Delta < 0

Dans ce cas, -\Delta > 0 et Δ=−1×(−Δ)=i2×(−Δ)2\Delta = -1 \times (-\Delta) = i^2 \times (\sqrt{-\Delta})^2,

soit Δ=(i−Δ)2\Delta = (i \sqrt{- \Delta})^2.

az2+bz+c=a(z−−b+i−Δ2a)(z−−b−i−Δ2a)az^2 + bz + c = a \big(z - \dfrac{-b + i \sqrt{- \Delta}}{2a} \big) \big(z - \dfrac{-b - i \sqrt{- \Delta}}{2a} \big).

Les solutions sont z1=−b+i−Δ2az_1 = \dfrac{-b +i \sqrt{- \Delta}}{2a} et z2=z1ˉ=−b−i−Δ2az_2 = \bar{z_1} = \dfrac{-b - i \sqrt{- \Delta}}{2a}, qui sont deux nombres complexes conjugués.

Méthode

Résoudre une équation du second degré dans ℂ

a. Résoudre dans ℂ l’équation z2−22z−2=0z^2 - 2\sqrt{2} z - 2 = 0.

b. Résoudre dans ℂ l’équation z2+z+1=0z^2 + z + 1 = 0.

c. Résoudre dans ℂ l’équation z2−6z+9=0z^2 - 6z + 9 = 0.

Conseils

Étape 1 : on calcule le discriminant de l’équation.

Étape 2 : en fonction du signe du discriminant, on déduit le nombre de solutions de l’équation du second degré dans ℂ.

Étape 3 : on donne l’expression de la (ou des) solution(s) de l’équation du second degré dans ℂ en utilisant les valeurs numériques de a, b et c.

Solution

a. 

Étape 1 :

Le discriminant est Δ=(−22)2−4×1×(−2)=8+8=16\Delta = (-2\sqrt{2})^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 8 + 8 = 16

Étape 2 :

\Delta > 0 donc, dans ℂ, l’équation z2−22z−2=0z^2 - 2\sqrt{2} z - 2 = 0 admet deux solutions réelles distinctes.

Étape 3 

Ces deux solutions réelles sont :

z1=22+162=2+2z_1 = \dfrac{2 \sqrt{2} + \sqrt{16}}{2} = \sqrt{2} + 2 et z2=22−162=2−2z_2 = \dfrac{2 \sqrt{2} - \sqrt{16}}{2} = \sqrt{2} - 2

b. 

Étape 1 :

Le discriminant est Δ=12−4×1×1=−3\Delta = 1^2 - 4 \times 1 \times 1 = -3.

Étape 2 :

 \Delta < 0 donc l’équation z2+z+1=0z^2 + z + 1 = 0 admet deux solutions dans ℂ, qui sont des nombres complexes conjugués.

Étape 3 :

Ces deux solutions complexes conjuguées sont :

z1=−1+i32=−12+32iz_1 = \dfrac{-1 + i \sqrt{3}}{2} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} i et z2=−1−i32=−12−32iz_2 = \dfrac{-1 - i \sqrt{3}}{2} = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} i.

À noter

L’équation du second degré z2+z+1=0z^2 + z + 1 = 0 n’a pas de solution dans ℝ.

c. 

Étape 1 :

Le discriminant est Δ=(−6)2−4×1×9=36−36=0\Delta = (-6)^2 - 4 \times 1 \times 9 = 36 - 36 = 0.

Étape 2 :

Δ=0\Delta = 0 donc, dans ℂ, l’équation z2−6z+9=0z^2 - 6z + 9 = 0 admet une solution réelle double.

Étape 3 :

Cette solution est z0=62=3z_0 = \dfrac{6}{2} = 3.

Leçon suivante
Trigonométrie, formules d’Euler et de Moivre