Trigonométrie, formules d’Euler et de Moivre

Utilisées dans ℂ, les formules d’Euler et de Moivre permettent de simplifier des calculs trigonométriques dans ℝ.

I. Formules de trigonométrie

Pour tous x ; y∈ℝ2, on a les formules suivantes :

Formules d’addition

 cosx+y=cosxcosy−sinxsiny

 sinx+y=sinxcosy+sinycosx

 cosx−y=cosxcosy+sinxsiny

 sinx−y=sinxcosy−sinycosx

Formules de duplication

 cos2x=cos2x−sin2 x=2cos2x−1=1−2sin2 x

 sin2x=2sinxcosx

II. Formules d’Euler et de Moivre

1) Exponentielle imaginaire

Soit z∈U, c’est-à-dire tel que z est un nombre complexe de module 1.

z=cosθ+isinθ et, en notant eiθ=cosθ+isinθ, on a z=eiθ.

eiθ est la notation de l’exponentielle du nombre complexe z d’argument θ.

Propriétés : Soient θ ; θ′∈ℝ2 et n∈ℤ.

À noter

Les propriétés des puissances s’appliquent à l’exponentielle imaginaire.

2) Formules d’Euler

Soit θ∈ℝ. On a :

 cosθ=eiθ+e−iθ2

 sinθ=eiθ−e−iθ2i

3) Formule de Moivre

Soient θ∈ℝ et n∈ℤ.

On a eiθn=einθ, d’où, pour tout n∈ℤ :

cosθ+isinθn=cosnθ+isinnθ

À noter

Les formules d’Euler et de Moivre permettent de linéariser des expressions trigonométriques et donc de simplifier certains calculs.

Conseils

Exprimez eiθ et e−iθ en fonction de cos θ et de sin θ, puis déduisez-en les formules.

Solution

Soit θ∈ℝ.

eiθ+e−iθ=cosθ+isinθ+cosθ−isinθ=2cosθ et on obtient (1).

2Démontrer une formule de duplication

Montrer les deux égalités cos2x=1+cos2x2 et sin2x=1−cos2x2.

À partir de chacun des résultats, retrouver et montrer une formule de duplication de cos(2x).

Conseils

Pour les deux égalités, pensez à utiliser les formules d’Euler.

Solution

 Soit x∈ℝ. D’après les formules d’Euler, on a cosx=eix+e−ix2.

À noter

eix2=e2ix ; e−ix2=e−2ix ; eix×e−ix=eix−ix=e0=1.

On en déduit que cos2x+1=2cos2 x, donc que cos2x=2cos2x−1.

 Soit x∈ℝ. D’après les formules d’Euler, on a sinx=eix−e−ix2i.

car 2i2=− 4 et cos2x=e2ix+e−2ix2.