La fonction logarithme népérien : définition et propriétés analytiques

La fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle étudiée en Première.

I. Définition et notations

Définition : La fonction exponentielle vue en Première, notée exp, est l’unique fonction dérivable sur ℝ de dérivée elle-même, et qui prend la valeur 1 en 0.

Définition : La fonction logarithme népérien, notée ln est la fonction définie sur $]0\; ;\;+\infty[$ par :

pour tout $x\in ]0\;;\;+\infty[\;\ln x=y\Leftrightarrow x=\text e^y$

Conséquences :

Pour tout réel $x$ strictement positif, $\text e^{\ln x}=x$

Pour tout réel $y$, $\ln (\text e^y)=y$.

On a en particulier $\ln 1=0$ et $\ln \text e=1$.

II. Propriétés analytiques

La fonction logarithme népérien est dérivable sur $]0\; ;\;+\infty[$ , et pour tout $x \in ]0\; ;\;+\infty[$ : $\ln '(x)= \dfrac 1x$.

La fonction ln est strictement croissante sur  $]0\; ;\;+\infty[$ .

$\lim\limits_{x\to 0^+} \ln x =-\infty$ et $\lim\limits_{x\to +\infty} \ln x =+\infty$

À noter

Pour toute fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I, la fonction $\ln u$ est dérivable sur I et $\ln u'=\dfrac{u'}{u}$.

III. Tableau de variations et courbe

À noter

Les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y=x$.

 

Conseils

 

 

Étape 1 Déterminez l’ensemble de définition de f.

 

 

Étape 2 Étudiez la dérivabilité de f et déterminez sa fonction dérivée.

 

 

Étape 3 Déduisez-en les variations de f sur son domaine de définition.

 

 

Étape 4 Étudiez les limites de f aux bornes de son domaine de définition.

 

 

Étape 5 Dressez le tableau de variations de f.

 

Solution

Étape 1 La fonction logarithme népérien est définie sur $]0\; ;\;+\infty[$. Or, pour tout réel x\;,\;\text e^{-x} > 0 donc 1+\text e^{-x} > 0. Donc f est définie sur ℝ.

Étape 2 Comme composée de fonctions dérivables, f est dérivable sur ℝ.

$\text e^{-x}$, pour tout réel x. Or $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$, avec $u'(x)=-e^{-x}$.

Donc $f'(x)=\dfrac{-e^{-x}}{1+\text e^{-x}}$.

Étape 3 La fonction exponentielle est strictement positive, d’où \dfrac{e^{-x}}{1+\text e^{-x}} > 0  et f'(x)<0 pour tout réel x. Donc f est strictement décroissante sur ℝ.

Étape 4 On sait que $\lim\limits_{x\to -\infty} (\text e^{-x})=+\infty$, donc $\lim\limits_{x\to -\infty} (1+\text e^{-x})=+\infty$.

On sait que $\lim\limits_{x\to +\infty} (\text e^{-x})=0$ donc donc $\lim\limits_{x\to +\infty} (1+\text e^{-x})=0$. Or$\lim\limits_{X\to 1}(\ln X)=\ln 1=0$, donc, par composition, $\lim\limits_{x\to +\infty} (f(x))=0$.

Étape 5