I. Rappels de cours
1) Section d’une sphère par un plan
Soit une sphère de centre et de rayon et soit un plan 𝒫 .
Notons la distance entre le point et le plan 𝒫 . Alors .
- Si , alors le plan ne coupe pas la sphère.
- Si , alors le plan est tangent à la sphère :
- Si , alors le plan coupe la sphère. La section est un cercle :
2) Coordonnées géographiques On représente la Terre par une sphère.
- La section de la sphère par un plan passant par le centre de la sphère est un grand cercle. L’équateur est le grand cercle de la Terre perpendiculaire à la droite joignant le pôle nord et le pôle sud.
- Un méridien est un demi grand cercle perpendiculaire à l’équateur et joignant le pôle nord et le pôle sud.
- Un parallèle est un cercle parallèle à l’équateur.
Tout point situé sur Terre est repéré par :
– sa longitude (Est ou Ouest) qui est la mesure d’angle entre le méridien où se trouve le point et le méridien de Greenwich
– sa latitude (Nord ou Sud) qui est la mesure d’angle entre le parallèle où se trouve le point et l’équateur.
II. Méthodes
1) Étudier la section d’une sphère par un plan
Soit une sphère de centre et de rayon . On coupe cette sphère par un plan tel que la distance du point à ce plan (représentée par le segment sur la figure) soit égale à .
Quelle est la nature de la section 𝒞 de la sphère et du plan ?
En donner les éléments caractéristiques (centre et mesure du rayon).
ConseilsApplique le théorème de Pythagore.
Solution
La section d’une sphère par un plan est un cercle.
Ce cercle a pour centre . Son rayon peut être calculé en appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle en :
,
soit
donc .
2) Calculer la longueur d’un grand cercle
La Terre est assimilée à une boule de rayon .
Calculer la longueur de l’équateur.
Solution
Nous savons que l’équateur est un grand cercle qui a même centre et même rayon que la Terre.
Notons la longueur de ce cercle. Alors :
,
soit
ou encore, arrondie au , .