Connaître les trois cas d’égalité des triangles

I. Rappels de cours

1) Premier cas d’égalité des triangles

À savoir 
On dit que deux triangles sont égaux lorsqu’ils sont superposables.

Si deux triangles ont un côté de même longueur adjacent à deux angles respectivement égaux, alors ces triangles sont égaux.

Exemple :

Si $BC = EF$, $\widehat{ABC}=\widehat{DEF}$ et $\widehat{ACB}=\widehat{DFE}$, alors les triangles $ABC$ et $DEF$ sont égaux. Nous pouvons en déduire que $AB=DE$, $AC=DF$ et $\widehat{BAC}=\widehat{EDF}$.

2) Deuxième cas d’égalité des triangles

Si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés respectivement de même longueur, alors ces triangles sont égaux.

Exemple : Si $\widehat{BAC}=\widehat{EDF}$, $AB=DE$ et $AC=DF$, alors les triangles $ABC$ et $DEF$ sont égaux. Nous pouvons en déduire que $\widehat{ABC}=\widehat{DEF}$, $\widehat{ACB}=\widehat{DFE}$ et $BC=EF$.

3) Troisième cas d’égalité des triangles

Si deux triangles ont leurs trois côtés respectivement de même longueur, alors ces triangles sont égaux.

Exemple : Si $AB=DE$, $AC=DF$ et $BC=EF$, alors les triangles $ABC$ et $DEF$ sont égaux. Nous pouvons en déduire que $\widehat{ABC}=\widehat{DEF}$, $\widehat{ACB}=\widehat{DFE}$ et $\widehat{BAC}=\widehat{EDF}$.

II. Méthode

Comparer deux longueurs

Soit un triangle $ABC$ isocèle en $A$.

On note $I$ et $J$ les milieux respectifs des côtés $[AB]$ et $[AC]$ de ce triangle.

On note $K$ le point d’intersection des droites $(CI)$ et $(BJ)$.

Construire une figure, puis comparer les distances $CI$ et $BJ$.

Conseils

Trouve des triangles qui pourraient être égaux, puis applique le deuxième cas d’égalité des triangles. 

Solution

Considérons les triangles $BIC$ et $CJB$. Nous savons que $[BC]$ est un côté commun aux deux triangles.

Nous savons aussi que $\widehat{IBC}=\widehat{JCB}$ et que $AB=AC$ puisque le triangle $ABC$ est isocèle en $A$. Alors $BI=\dfrac{AB}{2}$ et $CJ=\dfrac{AC}{2}$ donc $BI=CJ$.

D’après le deuxième cas d’égalité, les triangles $BIC$ et $CJB$ sont égaux. En conséquence $CI = BJ$.

Conclusion : les distances $CI$ et $BJ$ sont égales.