I. Rappels de cours
Réciproque du théorème de Thalès
Soient :
- deux droites 𝒟 et 𝒟 ′ sécantes en A
- B et M deux points de 𝒟 distincts de A
- C et N deux points de 𝒟 ′ distincts de A.
Si les points A, B et M d’une part, et les points A, C et N d’autre part sont alignés dans le même ordre et si AMAB=ANAC, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.
II. Méthodes
1) Démontrer que deux droites sont parallèles
Les longueurs sont mesurées en centimètres.
Construire un triangle ABC tel que AB=3, BC=7 et AC=9.
Placer le point E de la demi-droite [AB) tel que AE=5, puis le point F de la demi-droite [AC) tel que AF=15.
Les droites (BC) et (EF) sont-elles parallèles ? Justifier votre réponse.
Conseils
N’oublie pas de justifier l’application de la réciproque du théorème de Thalès.
Solution
Nous avons ABAE=35=0,6
et ACAF=915=0,6. Nous en déduisons que ABAE=ACAF.
Les points A, C, F sont alignés dans le même ordre que les points A, B, E et de plus ABAE=ACAF. Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
2) Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles
L’unité de longueur est le centimètre.
On considère deux droites 𝒟 1 et 𝒟 2 sécantes en O. Les points A et H sont situés sur 𝒟 1 tandis que les points B et G sont situés sur 𝒟 2.
On donne : OA=6 OB=8 OG=6,6 et OH=5.
Les droites (AB) et (GH) sont-elles parallèles ?
Conseils
Vérifie si l’on peut utiliser la réciproque du théorème de Thalès, ou pas.
Solution
Calculons : OAOH=65 et OBOG=86,6.
Nous remarquons que 65≠86,6, donc nous en déduisons que OAOH≠OBOG.
Les points G, O, B sont alignés dans le même ordre que les points H, O, A.
Si les droites (AB) et (GH) étaient parallèles, le théorème de Thalès permettrait d’écrire : OAOH=OBOG. Mais puisque OAOH≠OBOG, les droites (AB) et (GH) ne sont pas parallèles.