Comparaison des fonctions puissance, ln et exp

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Parmi les fonctions puissance, exponentielle et logarithme népérien, c’est la fonction logarithme népérien qui modélise les croissances les plus lentes.

I. Théorème des croissances comparées

Soit n un entier naturel non nul. On a :

limx→0+xnlnx=0 et limx→+∞lnxxn=0

Conséquence : Compte tenu des croissances comparées des fonctions puissance et exponentielle, on a également :

limx→+∞lnxex=0

À noter

limx→0ln1+xx est la limite du taux d’accroissement en 0 de la fonction u définie sur  −​1 ; +​∞  par ux=ln1+x, dont la dérivée est u′x=11+x.

Donc limx→0ln1+xx=u′0=1 (il faut connaître cette limite !).

II. Courbes représentatives

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Méthode

Lever une forme indéterminée

a. Calculer la limite en +∞ de la fonction f : x↦ex−x+lnx.

b. Calculer les limites de la fonction g : x↦xln(1+1x) aux bornes de l’intervalle  0 ; +​∞ .

Conseils

a. Pour f, factorisez par le terme qui « l’emporte » pour faire apparaître des croissances comparées.

b. Pour g, utilisez une propriété de la fonction ln pour vous ramener à une croissance comparée.

Solution

a. Pour tout réel x strictement positif, f(x)=ex(1−xex+lnxex).

Par croissances comparées, on a limx→+∞xex=0 et limx→+∞ln(x)ex=0.

ex+lnxex)=1.

De plus, limx→+∞ex=+∞.

Donc, par produit, on obtient limx→+∞f(x)=+∞.

b. Pour tout réel x strictement positif, g(x)=xln(x+1x)=xln(x+1)−xlnx. Par croissances comparées, limx→0+xlnx=0, donc par somme, limx→0+gx=0.

En effectuant le changement de variable X=1x, on a limx→+∞xln(1+1x)=limX→0ln(1+X)X=1, donc limx→+∞gx=1.

À noter

On reconnaît limX→0ln1+XX qui n’est pas une croissance comparée, mais la limite d’un taux d’accroissement.