Parmi les fonctions puissance, exponentielle et logarithme népérien, c’est la fonction logarithme népérien qui modélise les croissances les plus lentes.
I. Théorème des croissances comparées
Soit n un entier naturel non nul. On a :
limx→0+xnlnx=0 et limx→+∞lnxxn=0
Conséquence : Compte tenu des croissances comparées des fonctions puissance et exponentielle, on a également :
limx→+∞lnxex=0
À noter
limx→0ln1+xx est la limite du taux d’accroissement en 0 de la fonction u définie sur −1 ; +∞ par ux=ln1+x, dont la dérivée est u′x=11+x.
Donc limx→0ln1+xx=u′0=1 (il faut connaître cette limite !).
II. Courbes représentatives
Méthode
Lever une forme indéterminée
a. Calculer la limite en +∞ de la fonction f : x↦ex−x+lnx.
b. Calculer les limites de la fonction g : x↦xln(1+1x) aux bornes de l’intervalle 0 ; +∞ .
Conseils
a. Pour f, factorisez par le terme qui « l’emporte » pour faire apparaître des croissances comparées.
b. Pour g, utilisez une propriété de la fonction ln pour vous ramener à une croissance comparée.
Solution
a. Pour tout réel x strictement positif, f(x)=ex(1−xex+lnxex).
Par croissances comparées, on a limx→+∞xex=0 et limx→+∞ln(x)ex=0.
ex+lnxex)=1.
De plus, limx→+∞ex=+∞.
Donc, par produit, on obtient limx→+∞f(x)=+∞.
b. Pour tout réel x strictement positif, g(x)=xln(x+1x)=xln(x+1)−xlnx. Par croissances comparées, limx→0+xlnx=0, donc par somme, limx→0+gx=0.
En effectuant le changement de variable X=1x, on a limx→+∞xln(1+1x)=limX→0ln(1+X)X=1, donc limx→+∞gx=1.
À noter
On reconnaît limX→0ln1+XX qui n’est pas une croissance comparée, mais la limite d’un taux d’accroissement.