Lorsqu’on construit un arbre relatif à un schéma de Bernoulli il est utile de savoir combien de chemins comportent exactement k succès. Les coefficients binomiaux apportent la réponse.
I. Définition des coefficients binomiaux
On dispose de n objets. Le nombre de façons d’en choisir k (k ≤ n) se note nk et se lit « k parmi n ». Ce nombre s’appelle un coefficient binomial.
Exemple : On dispose de 5 emplacements pour placer des lettres. Le nombre de façons de placer la lettre B sur 3 emplacements est égal à 53. En effet, il y a 53 façons de choisir un emplacement parmi les 5 disponibles ; en voici deux :
II. Calcul des coefficients binomiaux
Pour calculer nk, on peut utiliser le triangle de Pascal :
Il est construit à l’aide de la formule de Pascal valable pour tout entier n et tout entier k :
n+1k+1=nk+1+nk
Exemple : 64 = 54 + 53 = 15 (triangle de Pascal avec n = 5 et k = 3).
Remarque : On a aussi nk=nn−k, par exemple 53=52=10.
Méthode
Compter des chemins dans un schéma de Bernoulli
On considère un schéma de Bernoulli à n répétitions, la probabilité de succès S étant égale à p.
1. On suppose dans cette question que n = 3.
a. Combien y a-t-il de chemins contenant deux succès exactement ?
b. Combien y a-t-il de chemins contenant k succès (0 ≤ k ≤ 3) ?
2. Dans le cas général, combien y a-t-il de chemins contenant exactement k succès ?
Conseils
1. a. Un arbre permet de répondre par simple dénombrement.
b. Utilisez les coefficients binomiaux.
2. Raisonnez en pensant à la position des succès dans le chemin.
1. a. En comptant simplement, on voit qu’il y a trois chemins contenant 2 succès. On constate que 3=32.
b. Un chemin est une liste à 3 éléments choisis parmi S (succès) et S¯ (échec). Pour savoir combien de chemins contiennent k lettres S, on choisit k places de la liste parmi les 3 dont on dispose, ce qui fait 3k possibilités, donc (3k) chemins possibles.
2. Un chemin est ici une liste à n éléments choisis parmi S et S¯. En généralisant le raisonnement précédent et en remplaçant 3 par n, on constate qu’il y a nk chemins contenant exactement k succès.