Par « enroulement », chaque nombre réel est associé à un point du cercle trigonométrique. On fait ainsi le lien entre longueur d’un arc et angle au centre, et on définit une nouvelle unité de mesure des angles : le radian.
I. Le cercle trigonométrique
1) Définition
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; I, J).
Le cercle trigonométrique est le cercle 𝒞 de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens « inverse des aiguilles d’une montre » appelé « sens trigonométrique ».
2) Enroulement de la droite réelle
On définit une « graduation » du cercle 𝒞 en enroulant la droite réelle autour de 𝒞, de manière à faire coïncider chaque réel x avec un point de 𝒞, le réel 0 étant associé au point I.
Tout réel x est associé à un unique point M de 𝒞, appelé image de x.
Tout point de 𝒞 correspond à une infinité de nombres réels : les réels x1 et x2 sont associés au même point du cercle 𝒞 si et seulement si x2 – x1 est un multiple de 2π.
Si x est un réel appartenant à [0 ; π] et M le point de 𝒞 image de x, alors x est la longueur de l’arc IM⌢ du cercle 𝒞.
II. Mesure d’angle : le radian
Le radian (symbole : rad) est la mesure d’un angle au centre qui intercepte sur le cercle trigonométrique 𝒞 un arc de longueur 1.
Plus généralement, si A et B sont deux points du cercle 𝒞 tels que l’arc AB⌢ du cercle 𝒞 ait pour longueur ℓ, alors ℓ est la mesure en radians de l’angle AOB^.
Si x est un réel appartenant à [0 ; π] et M le point de 𝒞 image de x, alors x est la mesure en radians de l’angle IOM^.
Un angle plat (180°) a pour mesure π radians.
À noter
Les mesures d’angles en degrés et en radians sont proportionnelles, ex. π2 rad = 90°.
Méthode
1) Placer sur le cercle trigonométrique le point image d’un réel donné
Sur le cercle trigonométrique 𝒞,les points A et C (respectivement D et F, G et K, L et N) partagent l’arc IJ⌢ (respectivement JI′⌢, I′J′⌢, J′I⌢) en trois arcs de même longueur. B (respectivement E, H, M) est le milieu de l’arc AC⌢ (respectivement DF⌢, GK⌢, LN⌢).
Donner le point image des réels suivants :
a. 3π4
b. –π3
Conseil
• Si a > 0, son image sur le cercle 𝒞 s’obtient en parcourant sur ce cercle une distance égale à a dans le sens positif à partir du point I.
• Si a < 0, on parcourt sur 𝒞 une distance égale à –a dans le sens négatif à partir de I.
Solution
a. 3π4>0 et 3π4=π2+π4, or E est au milieu du quart de cercle JI′⌢.
L’image de 3π4 est E.
b. –π3<0, on parcourt 𝒞 dans le sens négatif. IN⌢ et NL⌢ ont pour longueur 13×π2=π6 et IL⌢ pour longueur π3. L’image de –π3 est L.
2) Passer des degrés aux radians et inversement
a. Convertir 75° en radians.
b. Convertir 5π6 rad en degrés.
Conseil
Utiliser la proportionnalité des mesures d’angles en degrés et en radians, et la relation π2 rad = 90°.
Solution
a. Si 75° = t rad, alors t=75×π290=75π180 D’où 75° = 5π12 rad.
b. Si 5π6 rad = α°, alors α=90×5π6π2=90×56×2. D’où 5π6 rad = 150°.