L’enroulement de la droite réelle sur le cercle trigonométrique permet de définir le cosinus et le sinus d’un nombre réel, en lien avec le cosinus et le sinus d’un angle géométrique.
I. Définition et propriétés
Soit x un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique 𝒞 image de x.
M a pour coordonnées (cos x ; sin x).
–1 ⩽ cos x ⩽ 1 et –1 ⩽ sin x ⩽ 1.
cos2 x + sin2 x = 1
Les réels x et x + 2kπ ont pour image le même point de 𝒞. Donc pour tout entier relatif k :
cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x
Les images des réels x et –x sont deux points de 𝒞 symétriques l’un de l’autre par rapport à l’axe des abscisses :
cos(–x) = cos x et sin(–x) = –sin x
II. Lien avec le triangle rectangle
Si ABC est un triangle rectangle en A et si x est la mesure en radians de l’angle ABC^ (x∈[0;π2]), alors :
cosx=BABC et sinx=ACBC et sinx=ACBC
III. Valeurs remarquables
|
x |
0 |
π6 |
π4 |
π3 |
π2 |
π |
|
cos x |
1 |
32 |
22 |
12 |
0 |
–1 |
|
sin x |
0 |
12 |
22 |
32 |
1 |
0 |
Méthode
1) Calculer cos x connaissant sin x et le signe de cos x, ou l’inverse
Conseil
Utilisez l’égalité cos2 x + sin2 x = 1 et tenez compte du signe de cos x (
a.) ou de celui de sin t (
b.) donné dans l’énoncé.
a. Soit x un réel tel que sin x = 0,8 et cos x > 0. Calculer cos x.
b. Soit t un réel tel que cost=2+22 et sin t < 0. Calculer sin t.
Solution
a. cos2 x + sin2 x = 1, donc cos2 x = 1 – sin2 x, soit cos2 x = 1 – 0,82 = 0,36. Or cos x > 0, donc cosx=0,36, soit cos x = 0,6.
b. sin2 t = 1 – cos2 t, donc sin2t=1–(2+22)2=1–2+24=2–24. Or sin t < 0, donc sint=–2–22.
2) Résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique
a. Résoudre dans [–π ; π] l’équation cosx=–32.
b. Résoudre dans [–π ; π] l’inéquation cosx≤–32.
Conseil
a. Sur le cercle trigonométrique 𝒞, repérer les points d’abscisse –32 et calculer x à l’aide des valeurs remarquables ou de la calculatrice.
b. De même, repérer les points d’abscisse inférieure ou égale à –32.
Solution
a. Il existe sur 𝒞 deux points distincts A et B d’abscisse –32. Dans [–π ; π], ces points sont associés à –5π6 et 5π6, donc cosx=–32 a pour solutions –5π6 et 5π6.
b. Les réels x tels que cosx≤–32 sont ceux dont l’image appartient à l’arc AB⌢ du cercle 𝒞.
C’est l’ensemble [–π;–5π6]∪[5π6;π].