Calculer des aires

I. Rappels de cours

Formules donnant les principales aires

II. Méthodes

1) Calculer les aires de figures planes

Soient un triangle de base $b=10~\text{cm}$ et de hauteur $h=4,5~\text{cm}$, un disque de rayon $r=2,7~\text{cm}$ et un trapèze de bases $B=6~\text{cm}$ et $b=5~\text{cm}$ et de hauteur $h'=4,1~\text{cm}$.

Classer en ordre décroissant les aires de ces trois figures.

Solution

Soit $\mathcal{A}_1$ l’aire du triangle :
$\mathcal{A}_1=\dfrac{b \times h}{2}$
$\mathcal{A}_1=\dfrac{10 \times 4,5}{2}$
ou encore $\mathcal{A}_1=22,5~\text{cm}^2$.

Soit $\mathcal{A}_2$ l’aire du disque :
$\mathcal{A}_2=\pi \times r^2$
$\mathcal{A}_2=\pi \times 2,7^2$
ou encore $\mathcal{A}_2=22,90~\text{cm}^2$ à $10^{-2}$ près.

Soit $\mathcal{A}_3$ l’aire du trapèze :
$\mathcal{A}_3=\dfrac{(B+b) \times h'}{2}$
$\mathcal{A}_3=\dfrac{(6+5) \times 4,1}{2}$
ou encore $\mathcal{A}_3=22,55~\text{cm}^2$.

Conclusion : le classement en ordre décroissant des trois aires est $\mathcal{A}_2$, $\mathcal{A}_3$ et  $\mathcal{A}_1$.

2) Calculer les aires d’une boule et d’un cylindre

Soit une boule de rayon $r=5~\text{cm}$ et un cylindre de révolution de hauteur $h=5~\text{cm}$ et dont la base a pour rayon $r'=11,5~\text{cm}$.

L’aire latérale du cylindre $\mathcal{A}_2$ dépasse-t-elle de $15 \%$ l’aire $\mathcal{A}_1$ de la boule ?

Conseils

• Calcule les valeurs exactes des deux aires.

• Évalue la différence des deux aires en fontion de l’aire de la boule.

Solution

• $\mathcal{A}_1=4 \pi \times r^2$
  $\mathcal{A}_1=4 \pi \times 5^2$
  ou $\mathcal{A}_1=100 \pi~\text{cm}^2$

• $\mathcal{A}_2=2 \pi \times r' \times h$
  $\mathcal{A}_2=2 \pi \times 11,5 \times 5$
  ou $\mathcal{A}_2=115 \pi~\text{cm}^2$
• Nous avons :
  $\mathcal{A}_2-\mathcal{A}_1=115 \pi - 100 \pi$
  soit $\mathcal{A}_2-\mathcal{A}_1=15 \pi$
  ou encore $\mathcal{A}_2-\mathcal{A}_1=\dfrac{15}{100} \times 100 \pi$
  donc $\mathcal{A}_2-\mathcal{A}_1=\dfrac{15}{100} \mathcal{A}_1$

Conclusion : l’aire latérale du cylindre de révolution dépasse bien de $15 \%$ celle de la boule.

Attention

Il est demandé de calculer l’aire latérale et non l’aire totale du cylindre !