Utiliser les relations trigonométriques dans un triangle rectangle

I. Rappels de cours

1) Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

Soit un triangle ABC, rectangle en A.

2) Relations fondamentales

Pour tout angle aigu de mesure $x$, on a :

$\cos ^2x+\sin ^2x=1$ et $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$.

II. Méthodes

1) Calculer les mesures des côtés et des angles d’un triangle rectangle

Soit un triangle ABC rectangle en A.

On pose : $BC=a$, $AC=b$ et $AB=c$.

Les mesures des côtés du triangle sont exprimées en centimètres et seront calculées à $0,1$ cm près. Les mesures des angles sont exprimées en degrés et seront calculées à un degré près.

Compléter le tableau suivant, en indiquant succinctement les calculs effectués.

Conseils

• Commence par tracer une figure.

• $\widehat B+\widehat C=90^o$ puisque le triangle ABC est rectangle en A.

• Utilise ta calculatrice.

Solution

Utilisons les formules suivantes :

• $\cos \widehat B=\dfrac ca$

• $\cos \widehat C= \dfrac ba$

• $sin \widehat B= \dfrac ba$

• $sin \widehat C= \dfrac ca$

• $\tan \widehat B= \dfrac bc$

• $tan \widehat C= \dfrac cb$

2) Calculer le cosinus d’un angle aigu connaissant son sinus

L’un des angles aigus d’un triangle rectangle mesure $x$ degrés. Sachant que $\sin x= 0,6$, calculer la valeur exacte de $\cos x$.

Conseils

Utilise la formule $\cos ^2x+\sin^2x= 1$.

Solution

attention ! $\cos x$ est positif car c’est le quotient de deux distances. Donc $\cos x= -\sqrt{0,64}$ ne peut pas être une solution.

Nous savons que, pour tout angle aigu de mesure x, on a : $\cos ^2x+\sin^2x= 1$.

Alors $\cos ^2x= 1-\sin ^2x$.

$\cos ^2x=1-(0,6)^2$ soit $\cos ^2x= 1-0,36$ ou encore $\cos ^2x= 0,64$.

Nous avons deux solutions : $\cos x=+\sqrt{0,64}$ et $\cos x= -\sqrt{0,64}$.

Puisque $\cos x$ doit être positif, la réponse finale est : $\cos x= +\sqrt{0,64}=0,8$.