Suites géométriques

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Les suites géométriques sont des suites de références utilisées pour étudier les phénomènes qui évoluent à taux constant.

I. Définitions et caractérisation

Définition. Une suite u est géométrique si et seulement s’il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n, un+1=un×qu_{n + 1}=u_n\times q.

Le réel q s’appelle la raison de la suite.

On utilise les suites géométriques pour modéliser l’évolution d’une quantité dont les accroissements successifs sont à taux constants.

Théorème. La suite u est géométrique si et seulement s’il existe des réels q et a tels que pour tout entier naturel n :

un=a×qnu_n=a\times q^n

II. Propriétés

À noter (si on sait que les termes de la suite sont différents de 0)

Un contre-exemple suffit. Par exemple, si u1u0u2u1\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1},

la suite u n’est pas ­géométrique.

Dans un repère du plan, toute suite géométrique est représentée par des points de la courbe représentative d’une fonction exponentielle.

Une suite à termes non nuls u est géométrique si et seulement si pour tout n ∈ ℕ, un+1un\dfrac{u_{n+1}}{u_n} est indépendant de n.

Soit une suite u géométrique de raison q non nulle alors, pour tous entiers naturels n et p :

un=up×qnpu_n=u_p\times q^{n-p}.

III. Somme 1 + q + … + q^n

Théorème. Pour tout entier naturel non nul n et pour tout réel q ≠ 1 on a :

1+q++qn=1qn+11q1+q+\dots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}

À noter

Au numérateur du membre de droite, l’exposant de q est le nombre de termes de la somme de gauche.

Application. Soit la suite u géométrique de raison q et de premier terme u0=au_0 = a et n un entier naturel non nul :

u0+u1++un=u0×1qn+11qu_0+u_1+\dots+u_n=u_0\times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.

Méthodes

1)  Déterminer si une suite est géométrique

On considère les suites u, v et w définies pour tout n ∈ ℕ par :

un=(3n+1)2u_n=(3n+1)^2

vn=5×2n×22×(13)nv_n=5\times 2^n\times 2^{-2}\times\left(\dfrac 13\right)^n

wn=13(4n1)w_n=\dfrac13 (4^n-1)

Les suites u, v et w sont-elles géométriques ?

Conseil

Pour montrer qu’une suite (xn)(x_n) est géométrique, soit on montre que le ­quotient xn+1xn\dfrac{x_{n+1}}{x_n} est constant (à condition de savoir que les termes ne sont pas nuls), soit on montre que (xn)(x_n) est une fonction de n

de la forme n ↦ a×qna\times q^n.

 

Solution

On a u0=1u_0 = 1, u1=16u_1 = 16 et u2=49u_2 = 49, comme u1u0u2u1\dfrac{u_1}{u_0}\neq \dfrac{u_2}{u_1}, la suite u n’est pas géométrique.

Pour tout n ∈ ℕ, vn=5×2n×14×(13)nv_n=5\times 2^n\times \dfrac14 \times \left(\dfrac13\right)^n donc vn=54(23)nv_n=\dfrac 54\left(\dfrac23\right)^n. On en déduit

que la suite v est géométrique de premier terme v0=54v_0=\dfrac54 et de raison q=23q=\dfrac23.

On a w0=0w_0=0 et w1=1w_1=1, quelque soit le réel q, donc w1q×w0w_1\neq q\times w_0 donc la suite w n’est pas géométrique.

2)  Déterminer un terme ou la raison d’une suite géométrique


a. Soit la suite géométrique u de raison – 3 telle que u3=2u_3=2. Que vaut u5u_5 ?


b. Soit une suite géométrique v telle que v4=3v_4=3 et v6=15v_6=15. Quelle est sa raison q ?

Conseil

On sait que pour une suite géométrique (x)(x) de raison q, xmxn=qmn\dfrac{x_m}{x_n}=q^{m-n}.

 

Solution


a. On a u_5 = u_3 × (-3)^2 donc u5=18u_5 = 18.


b. On a v6v4=q2\dfrac{v_6}{v_4}=q^2 donc q2 = 5 puis q=5q=-\sqrt 5 ou q=5q=\sqrt 5.

Remarque : Il ne suffit pas toujours de connaître deux termes d’une suite géométrique pour en connaître la raison.