Suites arithmétiques - Mathématiques - Première générale

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Les suites arithmétiques sont les plus simples à définir et à ­étudier. La somme de termes consécutifs de telles suites s’exprime ­explicitement en fonction des caractéristiques de ces suites.

I. Définitions et caractérisation

Définition : 
Une suite  uu est arithmétique si et seulement s’il existe un réel rr tel que,

pour tout entier naturel nn, un+1=un+ru_{n + 1} = u_n + r.

Le réel rr s’appelle la raison de la suite.

On utilise les suites arithmétiques pour modéliser l’évolution d’une quantité dont les accroissements successifs sont constants.

Théorème :  La suite uu est arithmétique si et seulement s’il existe des réels rr et aa tels que : 

pour tout entier naturel nn ; un=a+n×ru_n=a+n\times r.

 

II. Propriétés

À noter

Pour montrer qu’une suite uu n’est pas arithmétique, il suffit d’un contre-exemple comme u1u0u2u1u_1-u_0\neq u_2-u_1.

Dans un repère du plan, toute suite arithmétique est représentée par des points de la courbe représentative d’une fonction affine (une droite), les points sont donc alignés.

Une suite (u)(u) est arithmétique si et seulement si pour tout nNn\in \textbf N, un+1unu_{n+1}-u_n est indépendant de nn.

Soit une suite (u)(u) arithmétique de raison rr, alors pour tous entiers naturels nn et pp :

unup=(np)×ru_n-u_p=(n-p)\times r.

III. Somme 1 + 2 + … + n

Théorème : Pour tout entier naturel non nul nn, on a :

1+2++n=n(n+1)21+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} 

À noter

Cette somme contient nn termes.

Application. Soit la suite uu arithmétique de raison rr et de ­premier terme u0=au_0 = a et nn un entier naturel non nul :

u0+u1++un=(n+1)a+n(n+1)2ru_0+u_1+\dots + u_n=(n+1)a+\dfrac{n(n+1)}{2} r

Méthodes

1)  Déterminer si une suite est arithmétique

On considère les suites u,  v,  wu,\; v,\;w et tt définies pour tout nNn \in \textbf N par :

un=n46n3+11n25nu_n=n^4-6n^3+11n^2-5n

w0=2w_0 = 2 et 3wn+1=3wn83w_{n + 1} = 3w_n-8

vn=52+32nv_n=52+32n

t0=0t_0 = 0 et tn+1=tn+n+1t_{n + 1} = t_n+n+1


a. Calculer u0,  u1,  u2u_0,\; u_1, \;u_2 et u3u_3. La suite u est-elle arithmétique ?


b. Les suites v,  wv,\; w et tt sont elles arithmétiques ?

Conseil

Pour montrer qu’une suite (xn)(x_n) est arithmétique, soit on montre que la différence xn+1xnx_{n + 1} - x_n est constante, soit on montre que xnx_n est une fonction affine de nn.

Solution

a. On a u0=0,  u1=1,  u2=2u_0=0, \;u _1=1, \; u_2=2 et u3=3u_3=3. Mais u44u_4\neq4 donc la suite uu n’est pas arithmétique.

Remarque : La connaissance des premiers termes ne suffit pas pour établir la nature de la suite.


b. Pour tout nNn \in \textbf N , vn=52+32nv_n=52+32n  donc par application directe du cours, la suite vv est une suite arithmétique de premier terme v0=52v_0=52 et de raison r=32r=32.

Pour tout nNn \in \textbf N   , 3wn+1=3wn83w_{n + 1} = 3w_n - 8 donc wn+1=wn83w_{n+1}=w_n-\dfrac 8 3. Par définition, la suite (w)(w) est arithmétique de raison r=83r=-\dfrac 8 3.

On a t1t0=1t_1 - t_0 = 1 et t2t1=2t_2-t_1 =2 donc la suite (t)(t) n’est pas arithmétique.

2)  Déterminer un terme ou la raison d’une suite arithmétique


a. Soit la suite arithmétique uu de raison 2-2 telle que u5=7u_5=7. Que vaut u10u_{10}?


b. Soit la suite arithmétique vv telle que v7=7v_7=7 et v10=0v_{10 }=0. Quelle est sa raison rr ?

Conseil

On sait que pour une suite arithmétique xx de raison rrxmxn=(mn)×rx_m -x_n = (m - n) \times r.

 

Solution

a. On a u10u5=(105)×(2)u_{10} - u_{5} = (10 - 5) \times (-2) soit u10=u5+5×(2)u_{10} = u_5 + 5 \times (-2) donc u10=3u_{10}=-3.


b. On a v10v7=(107)×r=3×rv_{10} - v_{7} = (10 - 7)\times r=3\times r, soit 3×r=73\times r=-7 donc r=73r=-\dfrac 7 3.