Suites arithmétiques - Mathématiques - Première générale

Les suites arithmétiques sont les plus simples à définir et à ­étudier. La somme de termes consécutifs de telles suites s’exprime ­explicitement en fonction des caractéristiques de ces suites.

I. Définitions et caractérisation

Définition : 
Une suite  $u$ est arithmétique si et seulement s’il existe un réel $r$ tel que,

pour tout entier naturel $n$, $u_{n + 1} = u_n + r$.

Le réel $r$ s’appelle la raison de la suite.

On utilise les suites arithmétiques pour modéliser l’évolution d’une quantité dont les accroissements successifs sont constants.

Théorème :  La suite $u$ est arithmétique si et seulement s’il existe des réels $r$ et $a$ tels que : 

pour tout entier naturel $n$ ; $u_n=a+n\times r$.

II. Propriétés

À noter

Pour montrer qu’une suite $u$ n’est pas arithmétique, il suffit d’un contre-exemple comme $u_1-u_0\neq u_2-u_1$.

Dans un repère du plan, toute suite arithmétique est représentée par des points de la courbe représentative d’une fonction affine (une droite), les points sont donc alignés.

Une suite $(u)$ est arithmétique si et seulement si pour tout $n\in \textbf N$, $u_{n+1}-u_n$ est indépendant de $n$.

Soit une suite $(u)$ arithmétique de raison $r$, alors pour tous entiers naturels $n$ et $p$ :

$u_n-u_p=(n-p)\times r$.

III. Somme 1 + 2 + … + n

Théorème : Pour tout entier naturel non nul $n$, on a :

$1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ 

À noter

Cette somme contient $n$ termes.

Application. Soit la suite $u$ arithmétique de raison $r$ et de ­premier terme $u_0 = a$ et $n$ un entier naturel non nul :

$u_0+u_1+\dots + u_n=(n+1)a+\dfrac{n(n+1)}{2} r$

Méthodes

1)  Déterminer si une suite est arithmétique

On considère les suites $u,\; v,\;w$ et $t$ définies pour tout $n \in \textbf N$ par :

• $u_n=n^4-6n^3+11n^2-5n$

• $w_0 = 2$ et $3w_{n + 1} = 3w_n-8$

• $v_n=52+32n$

• $t_0 = 0$ et $t_{n + 1} = t_n+n+1$

a. Calculer $u_0,\; u_1, \;u_2$ et $u_3$. La suite u est-elle arithmétique ?

b. Les suites $v,\; w$ et $t$ sont elles arithmétiques ?

Conseil

Pour montrer qu’une suite $(x_n)$ est arithmétique, soit on montre que la différence $x_{n + 1} - x_n$ est constante, soit on montre que $x_n$ est une fonction affine de $n$.

Solution

a. On a $u_0=0, \;u _1=1, \; u_2=2$ et $u_3=3$. Mais $u_4\neq4$ donc la suite $u$ n’est pas arithmétique.

Remarque : La connaissance des premiers termes ne suffit pas pour établir la nature de la suite.

b. Pour tout $n \in \textbf N$ , $v_n=52+32n$  donc par application directe du cours, la suite $v$ est une suite arithmétique de premier terme $v_0=52$ et de raison $r=32$.

Pour tout $n \in \textbf N$  , $3w_{n + 1} = 3w_n - 8$ donc $w_{n+1}=w_n-\dfrac 8 3$. Par définition, la suite $(w)$ est arithmétique de raison $r=-\dfrac 8 3$.

On a $t_1 - t_0 = 1$ et $t_2-t_1 =2$ donc la suite $(t)$ n’est pas arithmétique.

2)  Déterminer un terme ou la raison d’une suite arithmétique

a. Soit la suite arithmétique $u$ de raison $-2$ telle que $u_5=7$. Que vaut $u_{10}$?

b. Soit la suite arithmétique $v$ telle que $v_7=7$ et $v_{10 }=0$. Quelle est sa raison $r$?

Conseil

On sait que pour une suite arithmétique $x$ de raison $r$,  $x_m -x_n = (m - n) \times r$.

Solution

a. On a $u_{10} - u_{5} = (10 - 5) \times (-2)$ soit $u_{10} = u_5 + 5 \times (-2)$ donc $u_{10}=-3$.

b. On a $v_{10} - v_{7} = (10 - 7)\times r=3\times r$, soit $3\times r=-7$ donc $r=-\dfrac 7 3$.