Probabilités conditionnelles et indépendance

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Un événement A peut influencer, par sa réalisation ou sa non ­réalisation, un événement B. En même temps l’événement A peut n’avoir aucune influence sur B : ces deux événements sont alors indépendants.

I. Probabilités conditionnelles

On se place dans un univers Ω muni d’une probabilité P. Soit A un événement de probabilité non nulle.

Définition. La probabilité de l’événement B, sachant que A est réalisé est le nombre noté PA(B) défini par :

PA(B)=P(A∩B)P(A)

Formule des probabilités composées :

À noter

On voit qu’en général, P(A ∩ B) ≠ P(A) P(B).

P(A ∩ B) = PA(B)P(A)

L’application PA définie sur Ω par PA(X)=P(A∩X)P(A) a toutes les propriétés d’une probabilité. En particulier :

PA(B ∪ C) = PA(B) + PA(C) – PA(B ∩ C) et PA(B¯)=1–PA(B).

II. Événements indépendants

Définition. Dire que deux événements A et B sont indépendants signifie que :

P(A ∩ B) = P(A) P(B)

Intuitivement, dire que A et B sont indépendants suggère que la réalisation de A n’influence pas celle de B, donc que PA(B) = P(B).

Mot clé

Ne pas confondre « événements indépendants », notion qui dépend de la probabilité choisie sur l’univers Ω, et « événements incompatibles » (A ∩ B = ∅) qui n’en dépend pas.

Dans la pratique, pour calculer P(A ∩ B), il y a deux méthodes :

• la formule des probabilités composées, qui se réduit à P(A ∩ B) = P(A) P(B) dans le cas où A et B sont indépendants ;

• la formule P(A ∩ B) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B).

Méthode

Calculer des probabilités conditionnelles avec un tableau

Dans un sac, il y a des pièces anciennes qui sont soit en or (O), soit en argent (A). Certaines proviennent du pays X, les autres du pays Y. On prélève une pièce au hasardPB_Bac_05285_Math1_TT_p259-286_C10_Groupe_Schema_1.


a. Interpréter et compléter le tableau ci-contre.


b. Quelle est la probabilité que la pièce soit en or et du pays X ?


c. Montrer que la probabilité qu’elle soit en or sachant qu’elle provient du pays X est égale à 37.PB_Bac_05285_Math1_TT_p259-286_C10_Groupe_Schema_2


d. Les événements O et X sont-ils indépendants ?


e. Vérifier que le tableau ci-contre, comptant les pièces dans un autre sac, est cohérent. Ici, les événements O et X sont-ils indépendants ?

Conseil

 

a. 100 % des pièces proviennent des pays X et Y.

b. Calculez la probabilité d’une intersection.

c. Le mot-clé est « sachant ».

d. Utilisez la définition de la fiche.

e. Reprenez les raisonnements précédents. Vous aurez une surprise…

Solution

PB_Bac_05285_Math1_TT_p259-286_C10_Groupe_Schema_3


a. 45 % des pièces sont en or donc 55 % sont en argent. 56 % des pièces proviennent du pays X donc 44 % proviennent de Y.

23 % des pièces sont en argent du pays Y, or 0,55 – 0,23 = 0,32 donc 32 % des pièces sont en argent du pays X.


b. P(O ∩ X) = 0,24. 
c. PX(O)=P(X∩O)P(X)=0,240,56=37.


d. Comme PX(O) ≠ P(O), les événements O et X ne sont pas indépendants.


e. Ici P(X∩O)=3601500=0,24, P(O)P(X)=6751500=5001500=0,24. Les deux événements sont ici indépendants !