Position relative de deux courbes

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La position relative de deux courbes se résume à l’étude du signe de la différence des ordonnées de deux points de même ­abscisse de ­chacune des deux courbes. Cette étude permet, en ­économie, d’estimer un bénéfice.

I. Définition

Étudier la position relative de deux courbes 𝒞1 et 𝒞2 revient à savoir sur quel intervalle 𝒞1 est au-dessus (respectivement en dessous) de 𝒞2.

Exemple : Sur le graphique ci-dessous, on voit que sur [–2 ; 2] l’ordonnée de M2 est supérieure à celle de M1 on peut donc en déduire que 𝒞1 est en dessous de 𝒞2.

Les fonctions f1f_1 et f2f_2 sont définies par f1(x)=x2f_1(x)=x-2 et f2(x)=x2+x+2f_2(x)=-x^2+x+2.

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II. Propriétés

Soit 𝒞1 et 𝒞2 les courbes représentatives de deux fonctions f1 et f2. On considère deux points M1M_1 et M2M_2 de même abscisse xx appartenant respectivement à 𝒞1 et 𝒞2, leurs ordonnées respectives sont donc f1(x)f_1(x) et f2(x)f_2(x).

•  𝒞1 est au-dessus de 𝒞2 si et seulement si f1(x)f2(x)f_1(x)\ge f_2(x) ou encore f1(x)f2(x)0f_1(x)-f_2(x)\ge 0.

  𝒞1 est en dessous de 𝒞2 si et seulement si f1(x)f2(x)f_1(x)\le f_2(x) ou encoref1(x)f2(x)0f_1(x)-f_2(x)\le 0.

  𝒞1 et 𝒞2 se croisent si et seulement si f1(x)=f2(x)f_1(x)=f_2(x).

Exemple : On peut retrouver le résultat obtenu graphiquement précédemment en faisant l’étude du signe de la différence f1(x)f2(x)f_1(x)-f_2(x).

On a alors :

f1(x)f2(x)=x2(x2+x+2)f_1(x)-f_2(x)= x-2-(-x^2+x+2).

f1(x)f2(x)=x24{\phantom{f_1(x)-f_2(x)}= x^2-4}

f1(x)f2(x)=(x2)(x+2){\phantom{f_1(x)-f_2(x)}= (x-2)(x+2)}.

On obtient un polynôme du second degré dont les racines sont –2 et 2. On en déduit que cette différence est négative entre les racines, c’est-à-dire sur [–2 ; 2] et positive à l’extérieur des racines, c’est-à-dire sur ]–∞ ; –2[ et ]2 ; +∞[.

𝒞1 est donc en dessous de 𝒞2 sur [–2 ; 2] et au-dessus sur ]–∞ ; –2[ et ]2 ; +∞[.

Méthode

Étudier la position relative de deux courbes

Conseil

Étape 1. Pour comparer les ordonnées de deux points de même abscisse x, l’un appartenant à𝒞f et l’autre à𝒞g , on calcule f(x)g(x)f(x)-g(x).

Étape 2. On étudie le signe de cette différence.

Soient f et g les fonctions définies sur ℝ par :

f(x)=2x2x+5f(x)=-2x^2-x+5 et g(x)=x+1g(x)=-x+1.

On appelle 𝒞f et 𝒞g leurs courbes représentatives.

Étudier la position relative de ces deux courbes sur ℝ.

Solution

Étape 1. Déterminons la différence :

f(x)g(x)=(2x2x+5)(x+1)f(x)-g(x)= (-2x^2-x+5)-(-x+1)

f(x)g(x)=2x2x+5+x1{\phantom{f(x)-g(x)}=-2x^2-x+5+x-1}

f(x)g(x)=2x2+4{\phantom{f(x)-g(x)}=-2x^2+4}

Étape 2. Étudions alors le signe de f(x)g(x)=2x2+4f(x)-g(x)= -2x^2+4

Les racines de l’équation du second degré 2x2+4=0-2x^2+4= 0 sont x=2x=\sqrt 2 et x=2x=-\sqrt 2.

Donc 2x2+4-2x^2+ 4 est positif sur [2 ; 2][-\sqrt 2~;~\sqrt 2] et négatif sur ] ; 2[]2 ; +[]-\infty ~;~-\sqrt 2[ \cup ]\sqrt 2~;~+\infty[. Ainsi :

– si x[2 ; 2]x\in [-\sqrt 2~;~\sqrt 2], f(x)g(x)f(x)\ge g(x) et la courbe représentant f est située ­au-­dessus de celle représentant g ;

– si x] ; 2[]2 ; +[x\in ]-\infty ~;~-\sqrt 2[ \cup ]\sqrt 2~;~+\infty[, f(x)g(x)f(x)\le g(x) et la courbe représentant f est située en dessous de celle représentant g.

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Vérifiez que vous avez bien compris les points clés des fiches 17 à 19.