Multiplication, division euclidienne

La multiplication et la division sont deux opérations liées l’une à l’autre, la division pouvantêtre définie à partir de la multiplication.

I) Leçon

1) Définitions

La multiplication associe, à deux nombres entiers naturels $a$ et $b$, leur produit $a \times b$ (on l’écrit aussi $ab$). $a$ et $b$ sont appelés les facteurs du produit.

Exemple : 36 est le produit des nombres 9 et 4 (9 × 4 = 36).

La division euclidienne associe, à deux nombres entiers naturels $a$ et $b$ (avec $b \ne 0$), deux nombres entiers naturels $q$ et $r$ tels que $a = b \times q + r$ avec r < b.

$q$ est le quotient et $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$. $a$ est appelé le dividende et $b$ le diviseur. Lorsque $r = 0$, on écrit $a : b = q$.

Exemple : Dans la division euclidienne de 9 par 4, l’entier 2 est le quotient et 1 est le reste (car 9 = 4 × 2 + 1). 9 est le dividende et 4 le diviseur.

Relation entre la multiplication et la division euclidienne :

$a$ et $b$ sont deux nombres entiers naturels avec $b \ne 0$.

$q$ est le quotient de la division euclidienne de $a$ par $b$ est équivalent à $bq \leq a \leq b$ ($q + 1$).

Exemple : 4 \times 2 \leq 9 < 4 \times 3 ($2$ est le quotient de la division euclidienne de $9$ par $4$).

2) Les propriétés de la multiplication

3) Les propriétés de la division euclidienne

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Calculer un produit mentalement ou en ligne

Exemple : calculer en ligne (sans poser d’opération en colonne) 45 × 12, en justifiant les calculs.

➢ Calculer un quotient et un reste mentalement ou en ligne

Exemple : calculer en ligne (sans poser d’opération) le quotient et le reste de la division euclidienne de 143 par 5, en justifiant les calculs.

III) Je m'entraîne

Calculer en ligne, en précisant la suite des calculs et en indiquant les propriétés des opérations utilisées (utiliser au moins deux méthodes pour chaque calcul) :

a. $35 × 6$ et $25 × 6 × 4$.
b. Division euclidienne de 116 par 4 et de 170 par 25.