Multiples, diviseurs

Les relations multiplicatives entre les nombres entiers naturels permettent à la fois de mieux les connaitre et de résoudre de nombreux problèmes.

I) Leçon

1) Multiples et diviseurs

$a$ et $b$ sont des nombres entiers naturels.

$a$ est multiple de $b$ si et seulement s’il existe un nombre entier naturel $k$ tel que $a = b \times k$ (ou $a = bk$). On dit aussi que $a$ est divisible par $b$ ou que $b$ est un diviseur de $a$.

Il résulte de cette définition que a est multiple de b si et seulement si la division euclidienne de a par b donne un reste égal à 0. Exemple : 21 = 7 × 3, donc 21 est un multiple de 7 et de 3 ou 21 est divisible par 7 et par 3 ou 7 et 3 sont des diviseurs de 21.

2) Propriétés

Pour tout nombre $n$ entier naturel, tel que n ≠ 0 :

• $n$ est multiple de $n$ et de $1$ ou $n$ et $1$ sont des diviseurs de $n$. En effet, $n=n \times1$ ;
• 0 est multiple de $n$ et de 0 ou $n$ est diviseur de 0. En effet, $0=n \times O$.

0 n’a qu’un seul multiple (c’est 0) et 1 n’a qu’un seul diviseur (c’est 1).

Multiple d’un multiple : Pour tous nombres entiers naturels $a$, $b$ et $c$ :

• si $a$ est multiple de $b$ et si $b$ est multiple de $c$, alors $a$ est multiple de $c$ ;
• si $c$ ($c\ne 0$) est diviseur de $b$ et $b$ diviseur de $a$, alors $c$ est diviseur de $a$.

Exemple : 48 est multiple de 12 et 12 est multiple de 3, donc 48 est multiple de 3.

3) Calcul avec les multiples

4) Multiples, diviseurs et décomposition en produit de facteurs premiers

Soit $n$ un nombre entier naturel dont on connait la décomposition en produit de facteurs premiers :

• la décomposition en produit de facteurs premiers de tout multiple de $n$ doit contenir au minimum tous les facteurs premiers figurant dans celle de $n$ avec des exposants au moins égaux à ceux qui figurent dans la décomposition de $n$ ;
• la décomposition en produit de facteurs premiers de tout diviseur de $n$ ne peut contenir que des facteurs premiers figurant dans celle de $n$ avec des exposants au plus égaux à ceux qui figurent dans la décomposition de $n$.

Exemple : $600 = 2^3 \times 3 \times 5^2$

$2^3 \times 3^2 \times 5^2 \times 7 = 12~600$. $12~600$ est un multiple de $600$.

$2^3 \times 3 = 12$. $12$ est un diviseur de $600$.

5) Critères de divisibilité

$n$ désigne un nombre entier naturel écrit en écriture décimale.

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Reconnaitre si un nombre entier naturel est multiple ou diviseur d’un autre nombre entier naturel

On utilise soit la définition (ou la division euclidienne), soit les critères de divisibilité, soit l’une ou l’autre des propriétés.

➢ Chercher tous les diviseurs d’un nombre

Exemple : trouver les diviseurs de 54.

III) Je m'entraîne

1. 72 est-il multiple de : 3 ? 5 ? 6 ? 8 ? 12 ?

2. 6 est-il un diviseur de : 3 ? 12 ? 16 ? 42 ? 70 ?

3. Trouver tous les diviseurs de 78, en utilisant les deux méthodes présentées.