Généralités sur les suites

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Une suite de nombres peut être définie de bien des manières, explicites ou implicites, par des formules, des algorithmes ou des propriétés caractéristiques. Comme pour les fonctions, on peut en étudier les variations.

I. Définitions et modes de génération

Définition. Soit n0n_0 un entier naturel. Une suite numérique définie à partir du rang n0n_0 est une fonction à valeurs réelles définie pour tout entier n ,  n⩾n0n\,,\;n \geqslant n_0. On note parfois cette suite (un)n⩾n0(u_n)_{n \geqslant n_0} .


À noter
Le premier terme d’une suite est le terme de rang n0n_0 (qui est généralement 0 ou 1).

L’image d’un entier naturel nn par une suite uu est notée unu_n ou u(n)u(n): c’est le terme général de la suite ou encore son terme de rang nn.

On peut définir une suite par une propriété caractéristique : la suite des entiers pairs, des décimales de π…

Soit ff une fonction définie sur une partie EE de ℕ. On peut définir explicitement une suite uu par u(n)=f(n)u(n)=f(n)pour tout n ∈ E.

PB_Bac_05285_Math1_TT_p063-090_C03_Algo_0

Une suite peut être définie par récurrence : la donnée de son ou ses premiers termes et de l’expression de chacun de ses termes en fonction de celui ou de ceux qui le précèdent.

Un algorithme comportant une boucle permet de calculer les termes d’une suite.

II. Représentation graphique et variations

Soit un entier naturel n0n_0 et soit une suite uu définie à partir du rang n0n_0.
05285_chap03_fiche08i01
Dans un repère du plan, la représentation graphique de la suite uu est l’ensemble des points de coordonnées (n  ;  un)(n\;;\; u_n) pour tout entier n⩾n0n\geqslant n_0.

Une suite u est croissante (respectivement décroissante) à partir du rang n0n_0 si et seulement si pour tout entier naturel n⩾n0n \geqslant n_0, un+1⩾ unu_{n +1}\geqslant~u_n (respectivement un+1⩽unu_{n +1}\leqslant u_n).
On dit qu’une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.
À noter
On définit les suites strictement monotones à l’aide d’inégalités strictes.

Méthodes

1)  Déterminer certains termes d’une suite et les représenter

Déterminer et représenter les trois premiers termes des suites u, v, wu,\,v,\,wsuivantes :
PB_Bac_05285_Math1_TT_p063-090_C03_Algo_1

a. pour tout n⩾2,  un=6n(n−1)n\geqslant 2,\;u_n=6n(n-1);

b. v0=0v_0=0 et, pour tout n⩾0,  vn+1=2vn−1n\geqslant 0,\;v_{n+1}=2v_n-1 ;

c. ww est définie par l’algorithme ci-dessus.
Conseil
Pour une suite définie explicitement, on calcule les termes demandés en remplaçant n par la valeur appropriée. Pour une suite définie par récurrence, on utilise pour chaque calcul le terme donné ou calculé précédemment.

Solution

a. On a u2=6×2(2−1)=12u_2=6\times 2(2-1)=12 , u3=6×3(3−1)=36u_3=6\times 3(3-1)=36 , et u4=6×4(4−1)=72u_4=6\times 4(4-1)=72
À noter
La suite w est périodique : elle vaut alternativement - 1 et 0.
b. On a v0=0  ,  v1=2v0−1 soit v1=−1, puis v2=2v1−1v_0=0\;,\;v_1=2v_0-1\text{ soit } v_1=-1,\text{ puis } v_2=2v_1-1
soit v2=2×(−1)−1 d’ouˋ v2=−3v_2=2\times (-1)-1\text { d'où } v_2=-3.

c. On a w0=−1,w_0=-1, w1=w02−1w_1=w_0^2-1, soit w1=0w_1=0 et w2=w12−1w_2=w_1^2-1 soit w2=−1w_2=-1.

2)  Étudier le sens de variation d’une suite

Étudier le sens de variation de la suite définie pour tout n ∈ ℕ* par un=n+1nu_n=n+\dfrac1n .
Conseil
Pour exprimer un+1u_{n +1}, on remplace dans l’expression de unu_n chaque occurrence de nn par n + 1 (éventuellement entre parenthèses au besoin (n+1)(n+1)). Pour les variations de uu, on détermine le signe de un+1−unu_{n +1}-u_n.
 

Solution

On a pour tout n ∈ ℕ*, un+1=n+1+1n+1u_{n+1}=n+1+\dfrac{1}{n+1} .
On a pour tout n ∈ ℕ*:
 
un+1−unu_{n+1}-u_{n}
 
=n+1+1n+1–(n+1n)= n+1+\dfrac{1}{n+1}–(n+\frac{1}{n})
 
=n(n+1)+n–(n+1)n(n+1)=\dfrac{n(n + 1) + n – (n + 1)}{n(n+1)}
 
=n2+n–1n(n+1)=\dfrac{n^{2}+n–1}{n(n+1)}

À noter
On peut étudier le signe de la fonction x↦x2+x−1x\mapsto x^2 + x - 1.
Or, si n⩾1n\geqslant 1 alors n2+n⩾2n^2+n\geqslant 2 donc n2+n−1>0n^2+n-1\gt 0 et un+1−un>0u_{n+1}-u_n\gt 0 : la suite (un)(u_n) est donc strictement croissante.
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Suites arithmétiques