Les équations, entre autres celles du premier degré à une inconnue, permettent de résoudre des problèmes de mathématiques, mais aussi de physique, chimie, dans lesquels on est amené à utiliser des formules. En mathématiques, c’est par exemple le cas des problèmes de pourcentage, de vitesse, d’échelle, de calcul d’aires, de volumes, des problèmes utilisant les théorèmes de Pythagore ou de Thalès... Il est important de savoir manipuler ces formules.

I) La leçon

1) Les équations

Une équation est une égalité conditionnelle contenant une (ou plusieurs) inconnue(s). Résoudre une équation, c’est trouver l’ensemble de ses solutions, c’est-à-dire l’ensemble des valeurs de l’inconnue (ou des inconnues) qui rendent l’égalité vraie (cet ensemble peut être vide). Ces valeurs sont appelées solutions de l’équation.

Deux équations sont équivalentes si elles ont le même ensemble de solutions.

Exemple : $2x=6$ et $x=3$ sont deux équations équivalentes.

Plusieurs propriétés permettent d’obtenir des équations équivalentes. Pour obtenir une équation équivalente à une équation donnée, on peut :
– règle 1 : simplifier chacun des membres, par développement ou factorisation ;
– règle 2 : ajouter ou retrancher aux deux membres une même expression ;
– règle 3 : multiplier ou diviser ses deux membres par un même nombre non nul.

2) Les équations du premier degré à une inconnue

Une équation du premier degré à une inconnue est une équation équivalente à une équation de la forme $ax = b$ où $x$ est l’inconnue, et $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

II) Ce qu'il faut savoir faire

Résoudre une équation du premier degré à une inconnue

Le but est de se ramener à une équation équivalente à l’équation donnée, du type $x=a$ ou $0x=a$ en utilisant les propriétés.

Remarque : l’équation $0x=a$ n’a pas de solution si $a\ne0$ . Tous les réels sont solutions de l’équation $0x=0$ .
Exemple : résoudre l’équation $7(x − 2) − (2x − 10) = 2(x − 5)$ .

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Utiliser une formule

Exemple : on sait qu’une pyramide d’aire de base 500 mm² a un volume de 60 cm³. Quelle est sa hauteur ?

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Dans certains cas, on n’a pas d’équation à résoudre ; on a juste un calcul à effectuer. C’est par exemple le cas si on demande de calculer V connaissant l’aire de base et h.

III) Je m'entraine

1. Résoudre les équations :

a. $3(x − 2) + 11 = 7$ ;

b. $4x − 12 = 7x + 3$ ;

c. $(2x − 1) − (3x + 2) = 5 − 3(x − 2)$ ;

d. $7x − 12 = 3 (x − 4)$ ;

e. $2(x − 5) = x + (5 + x)$ ;

f. $3x+7=2(x+3)−(−x−1)$ ;

g. $\frac{2x}{3}=\frac{5}{7}$

2. a. Le volume V d’un cylindre de rayon $r$ et de hauteur $h$ est donné par la formule : $V = π × r^2 × h$ . Calculer à 0,1 cm près la hauteur d’un cylindre de rayon 20 mm et de volume 226,2 cm³.

b. Le volume V d’un cône de rayon $r$ et de hauteur $h$ est donné par la formule $V=\frac{1}{3}×π×r^2×h$ . Déterminer la hauteur d'un cône de rayon 3 cm et de volume 141,4 cm³.

Equations du premier degré, formules