Légende de la leçon

Vert : définitions

I. Rappels de cours

1) Définition et notation

Une fonction est un procédé qui à un nombre $x$ , appelé antécédent, fait correspondre un seul autre nombre, appelé image.

Notation : on note $f(x)$ l’image de $x$ par la fonction $f$ , ou encore $f:x↦f(x)$ .

2) Détermination d’une fonction

Une fonction $f$ peut être déterminée par :

son expression algébrique, c’est-à-dire la relation existant entre l’antécédent $x$ et son image $f(x)$

sa représentation graphique, c’est-à-dire l’ensemble des points du plan de coordonnées $(xf(x))$

un tableau de valeurs, c’est-à-dire un tableau où figurent quelques valeurs de x et leurs images respectives par la fonction $f$ .

II. Méthodes

1) Calculer images et antécédents par une fonction donnée

Soit la fonction $f:x↦3x-2$ .

a. Écrire l’expression algébrique de $f$ .

b. Quelles sont les images par $f$ des nombres suivants :

$0$ , $-3$ , $\dfrac{1}{4}$ et $\sqrt{2}$ ?

c. Quels sont les antécédents par $f$ des nombres :

$0$ , $-3$ , $\dfrac{1}{4}$ et $\sqrt{2}$ ?

Conseils

Utilise l’expression donnant $f(x)$ en fonction de $x$ pour déterminer les images, et l’expression donnant $x$ en fonction de $f(x)$ pour déterminer les antécédents.

Solution

a. L’expression algébrique de $f$ est : $f(x)=3x-2$ .

b. On utilise l’expression algébrique de f pour calculer les images.

L’image de $0$ par $f$ est $f(0)=3\times0-2=-2$ .

De même, $f(-3)=-11$ , $f(\dfrac{1}{4})=-\dfrac{5}{4}$ et $f(\sqrt{2})=3\sqrt{2}-2$ .

c. Puisque $f(x)=3x-2$ , alors $x=\dfrac{f(x)+2}{3}$ .

Si $f(x)=0$ , alors $x=\dfrac{0+2}{3}=\dfrac{2}{3}$ .

De même, les antécédents par $f$ des nombres $-3$ , $\dfrac{1}{4}$ et $\sqrt{2}$ sont respectivement : $-\dfrac{1}{3}$ , $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{\sqrt{2}+2}{3}$ .

2) Réaliser un tableau de valeurs pour une fonction donnée

Soit la fonction $g:x↦-2x(x-4)$ .

Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

x	0	− 2	54	10−1	− 2
g(x)						8

Conseils

Utilise l’expression algébrique de g, soit g(x)=− 2x(x−4).