Comparaison, addition, soustraction avec les fractions

La comparaison, l’addition et la soustraction de fractions sont souvent fondées sur des principes voisins : la réduction des fractions au même dénominateur.

I) Leçon

1) Comparer des fractions

Deux propriétés permettent de comparer facilement certaines fractions :

• si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur ;

Exemple : \frac{17}{6} > \frac{11}{6}

• si deux fractions ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur.

Exemple : \frac{6}{17} < \frac{6}{11}

Dans d’autres cas, il faut utiliser des méthodes spécifiques (voir encadré Ce qu’il faut savoir faire ci-après).

2) Additionner, soustraire des fractions de même dénominateur

$a$, $b$ et $c$ sont des nombres entiers relatifs, avec $c \ne 0$. $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}$ et $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$

Exemple : $\frac{7}{12}+\frac{13}{12} = \frac{7 + 13}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

$\frac{13}{12}-\frac{7}{12} = \frac{13 - 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

À la fin d’un calcul, on cherche souvent à obtenir une fraction irréductible égale à la fraction trouvée.

Dans d’autres cas, il faut utiliser des méthodes spécifiques (voir ci-dessous).

II) Ce qu'il faut savoir faire

➢ Comparer deux fractions qui n’ont ni le même numérateur ni le même dénominateur

Exemple : comparer $\frac{12}{27}$ et $\frac{19}{36}$.

Méthode 1

Méthode 2

Remarque : l’approximation choisie est fonction des fractions en jeu. Dans ce cas, on aurait pu se limiter à des valeurs approchées au dixième.

Méthode 3

Remarque : la méthode 3 est particulièrement simple à utiliser lorsque l’une des fractions est inférieure à 1 et l’autre supérieure à 1. Exemple : \frac{47}{60} < 1 < \frac{93}{85}

➢ Additionner et soustraire des fractions

Exemple : calculer $\frac{73}{48} + \frac{47}{60}$ et $\frac{73}{48} - \frac{47}{60}$.

Dans ce cas, seul le résultat de la soustraction peut être simplifié, la fraction $\frac{188}{240}$ étant irréductible.

III) Je m'entraîne

1. Compléter avec < ou > : a. $\frac{7}{6} \ldots \frac{6}{7}$ b. $\frac{13}{6} \ldots \frac{13}{8}$ c. $\frac{23}{12} \ldots \frac{28}{15}$ d. $6 \ldots \frac{109}{18}$

2. Ranger par ordre croissant les fractions : $\frac{1}{6}$ ; $\frac{1}{4}$ ; $\frac{7}{10}$ ; $\frac{23}{15}$ ; $\frac{13}{18}$.

3. Calculer : a. $\frac{18}{30} + \frac{7}{18}$ b. $\frac{18}{30} - \frac{7}{18}$ c. $\frac{47}{36} + \frac{25}{24}$ d. $\frac{47}{36} - \frac{25}{24}$

4. Calculer : a. $7 + \frac{13}{8}$ b. $7 - \frac{13}{8}$ c. $\frac{51}{16} - 3$