Appliquer la réciproque du théorème de Pythagore

I. Réciproque du théorème de Pythagore

 Si un triangle $ABC$ est tel que $BC^2=AB^2+AC^2$, alors ce triangle est rectangle en $A$.

Autre formulation de la réciproque du théorème de Pythagore :

Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle et admet pour hypoténuse le plus grand des côtés.

Exemple :

Soit un triangle $ABC$ tel que $AB=5,7$, $AC=8,4$ et $BC=10$. Montrons que le triangle $ABC$ n’est pas rectangle.

1. $[BC]$ est le plus grand des côtés du triangle $ABC$.

2. Calculons :

$AB^2=5,7^2=32,49$ 
$AC^2=8,4^2=70,56$
$BC^2=10^2=100$.

3. Puisque $32,49+70,56=103,05$, alors $32,49+70,56 \neq 100$.

Par conséquent : $AB^2+AC^2 \neq BC^2$.

Conclusion :

Si le triangle $ABC$ avait été rectangle en $A$, alors nous aurions pu appliquer le théorème de Pythagore et écrire que $AB^2+AC^2=BC^2$. Mais $AB^2+AC^2 \neq BC^2$, donc le triangle $ABC$ n’est pas rectangle en $A$.

II. Méthodes pour appliquer la réciproque du théorème de Pythagore dans le plan

Soit un triangle $ABC$ tel que $AB=36$, $AC=48$ et $BC=60$ (les longueurs sont exprimées en millimètres).

a. Quelle est la nature du triangle $ABC$ ?

b. Soit $H$ le point du segment $[BC]$ tel que $CH=38,4$. On sait de plus que $AH=28,8$. Quelle est la nature du triangle $AHC$ ? Que représente la droite $(AH)$ pour le triangle $ABC$ ?

Conseils

Calcule les carrés des mesures de chacun des côtés du triangle considéré. Additionne les deux plus petits carrés et compare cette somme au troisième carré.

Solution

a. On a :

$AB^2=36^2=1~296$
$AC^2=48^2=2~304$
$BC^2=60^2=3~600$.

Nous remarquons que $1~296+2~304=3~600$, c’est-à-dire $AB^2+AC^2=BC^2$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.

b. On a :

$AH^2=28,8^2=829,44$
$CH^2=38,4^2=1~474,56$
$AC^2=48^2=2~304$.

Nous remarquons que $829,44+1~474,56=2~304$, c’est-à-dire $AH^2+CH^2=AC^2$. D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $AHC$ est rectangle en $H$. La droite $(AH)$ représente donc la hauteur issue de $A$ dans le triangle $BAC$.

Déterminer si une étagère est horizontale ou non

Les différentes longueurs sont données en cm.

L’étagère $[AB]$ est fixée à un mur vertical et maintenue par un support $[CD]$. On donne : $AC = 40$, $AD = 60$ et $DC = 70$.

a. L’étagère est-elle horizontale ? Pourquoi ?

b. Le point $C$ est fixe tandis que le point $D$ peut coulisser sur $[AE]$. À quelle distance de A (arrondie à $0,1$ près) doit-on placer le point $D$ pour que l’étagère soit horizontale ?

Conseils

a. L’étagère est horizontale si $(AC)$ est perpendiculaire à $(AD)$, donc si le triangle $DAC$ est rectangle en $A$.

Solution

a.

$AD^2+AC^2=602+402=5~200$ et $CD^2=70^2=4~900$.

Donc $AD^2+AC^2 \neq CD^2$. Donc le triangle $DAC$ n'est pas rectangle en $A$, et l’étagère n’est pas horizontale.

b. Notons D′ la nouvelle position du point $D$ qui permet d’avoir un triangle D′AC rectangle en $A$. Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle D′AC rectangle en $A$ :

$AD'^2+AC^2=CD'^2$,

soit $AD'^2=CD'^2-AC^2=702-402=3~300$.

$AD'=3~300 \approx 57,4$ (valeur arrondie à $0,1$ près).

Il faut placer le point $D'$ (ou $D$) à $57,4 ~ cm$ du point $A$ pour que l’étagère soit horizontale.