Agrandir et réduire des figures : homothétie

I. Rappels de cours

1) Image d’un point par une homothétie

Le point B est l’image du point A par l’homothétie de centre O et de rapport k (où k est un nombre strictement positif) si :

• les points O, A et B sont alignés 

• le point O n’est pas situé sur le segment [AB] 

•  $OB= k\times OA$.

Exemple : Sur la figure ci-dessous, B est l’image de A par l’homothétie de centre O et de rapport k=3.

2) Transformer une figure par une homothétie

Transformer une figure par une homothétie, c’est l’agrandir ou la réduire.

Exemple : Sur le schéma ci-dessous, les points O, A, A', les points O, B, B' et les points O, C, C' sont alignés.

• Le triangle A'B'C' est l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport 2 : on a un agrandissement.

• Le triangle ABC est l’image du triangle A'B'C' par l’homothétie de centre O et de rapport 12 : on a une réduction.

On a donc : $\dfrac{OA'}{OA}=\dfrac{OB'}{OB}=\dfrac{OC'}{OC}=2$ et $\dfrac{OA}{OA'} =\dfrac{OB}{OB'}=\dfrac{OC}{OC' }=\dfrac 12$.

3) Homothétie, proportionnalité et théorème de Thalès

La transformation d’un triangle par une homothétie traduit aussi une configuration de Thalès.

En considérant la seconde figure de la page précédente, on peut remarquer que :

• les côtés des triangles ABC et A'B'C' sont proportionnels 

• leurs angles homologues sont égaux.

On dit que les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.

4) Propriétés de conservation de l’homothétie

L’homothétie conserve les angles, l’alignement, le parallélisme et la perpendicularité.

Exemple : Par une homothétie, l’image d’une droite est une droite qui lui est parallèle.

II. Méthode

Construire l’image d’un segment par une homothétie

Sur le schéma ci-contre, le segment [AB] mesure 2 cm.

a. Reproduire le schéma en vraie grandeur sur une feuille quadrillée, puis construire l’image [A'B'] du segment [AB] par l’homothétie de centre O et de rapport 1,5.

b. Combien mesure la distance A'B' ?

Conseils

a. Mesurez avec une règle graduée, les distances OA et OB.

Solution

a. Sur le schéma, on mesure OA = 2,2 cm et OB = 1,6 cm.

Les points O, A et A' sont alignés et $OA' =1,5\times OA$, soit OA' =3,3 cm.

Les points O, B et B' sont alignés et $OB' =1,5\times OB$, soit OB' =2,4 cm.

b. Le segment [A'B'] est un agrandissement du segment [AB].

On a : $A'B' =1,5 \times AB =1,5\times 2$, soit $A'B' =3$ cm.