Deux nombres sont premiers entre eux s'ils n'ont pas de diviseur commun autre que $1$. C'est le cas de tous les couples, sauf pour $a=15$ et $b=12$, qui ont $3$ comme diviseur commun.

Parmi les couples d'entiers suivants, cocher ceux qui sont premiers entre eux :

Si $d$ divise $n$ et $n+1$, il divise aussi la différence $n+1-n$, et donc $1$, donc $d=1$ : le seul diviseur commun à $n$ et $n+1$ est $1$, donc $n$ et $n+1$ sont premiers entre eux. $2n$ et $4n$ sont tous les deux divisibles par $2$, donc ne sont pas premiers entre eux. Il suffit de prendre $n=6$ pour se rendre compte que l'affirmation est fausse. Les seuls diviseurs de $2^n$ sont des puissances de $2$. Les seuls diviseurs de $3^n$ sont des puissances de $3$. La seule puissance commune à $2$ et $3$ est $2^0=3^0=1$, donc le seul diviseur commun à $2^n$ et $3^n$ est $1$ : ces deux nombres sont bien premiers entre eux.

Pour tout $n$ entier naturel strictement positif, $n$ et $n+1$ sont premiers entre eux.

Pour tout entier $n>0$, $2n$ et $4n$ sont premiers entre eux.

$n$ et $n+3$ sont premiers entre eux pour n'importe quelle valeur de $n$ paire.

Pour tout entier $n>0$, $2^n$ et $3^n$ sont premiers entre eux.

Cocher les affirmations correctes (on évitera d'utiliser la calculatrice) :

On rappelle que si deux nombres $a$ et $b$ sont divisibles par $d$, toute combinaison linéaire de $a$ et de $b$ (c'est-à-dire expression de la forme $ax+by$) est divisible par $d$ aussi. Le terme de gauche dans l'égalité donnée peut être considéré comme une combinaison linéaire de $7$ et de $37$, ou bien comme une combinaison linéaire de $851$ et de $4~498$, ou comme une combinaison linéaire de $37$ et de $4~498$, ou bien encore comme combinaison linéaire de $7$ et de $851$. Puisque c'est égal à $1$, on en déduit qu'un diviseur commun aux deux nombres présents dans chaque proposition est forcément égal à $1$ : les quatre propositions sont vraies.

$851$ et $4~498$ sont premiers entre eux.

On donne l'égalité suivante (que l'on pourra revérifier à la calculatrice) : $37\times 851-7\times 4498=1$. Que peut-on en déduire ?

Soit $a,b,c$ trois entiers naturels. On suppose que $a$ et $b$ sont premiers entre eux et que $a$ divise $bc$. Que peut-on en déduire ?

$2$ et $4$ ne sont pas premiers entre eux. $3$ et $9$ ne sont pas premiers entre eux. Deux nombres pairs sont divisibles par $2$, donc ne peuvent pas être premiers entre eux. $3$ et $11$ sont premiers entre eux.

Deux nombres pairs sont forcément premiers entre eux.

Deux nombres impairs sont forcément premiers entre eux.

Deux nombres pairs sont forcément non premiers entre eux.

Deux nombres impairs sont forcément non premiers entre eux.

Parmi les affirmations suivantes, cocher celle qui est vraie :