Systèmes de deux équations à deux inconnues

Un système de deux équations du premier degré à deux ­inconnues est une écriture comportant deux équations, disposées avec une accolade et utilisant les deux mêmes inconnues.

I Méthode de résolution par addition ou par ­soustraction

Lorsque l’écriture du système s’y prête, on cherche à éliminer l’une des deux ­inconnues en additionnant ou soustrayant les deux équations du système.

Exemple : Résoudre le système $\{\begin{array}{c}3x+4y=26\\ 5x+7y=45\end{array}$

• Étape 1 : On cherche x. Pour cela, on cherche à éliminer y. On multiplie les deux membres de la première équation par 7 et ceux de la deuxième par 4 :

$\left(\begin{array}{c}21x+28y=182\\ 20x+28y=180\end{array}\right)$

Par soustraction, on obtient : 1x + 0y = 182 – 180 = 2 donc x = 2.

• Étape 2 : Sachant que x = 2, on utilise cette valeur dans l’une des deux équations pour trouver y :

3 × 2 + 4y = 26 ⇒ 4y = 20 ⇒ y = 5

Bilan : Le couple (2 ; 5) est la solution du système.

II Méthode de résolution par substitution

On peut utiliser cette méthode quelle que soit l’écriture du système.

Exemple : Résoudre le système $\{\begin{array}{c}3x+5y=61\\ y=36–4x\end{array}$

• Étape 1 : On remplace y par 36 – 4x dans la première équation :

3x + 5(36 – 4x) = 61 ⇒ 3x + 180 – 20x = 61 ⇒ –17x = –119

On en déduit que $x=\frac{–119}{–17}=7$.

Repère
Mot clé

On dit aussi que l’on « substitue » 36 – 4x à y.

• Étape 2 : Sachant que x = 7, on utilise cette valeur pour calculer y : y = 36 – 4 × 7 = 8.

Bilan : Le couple (7 ; 8) est la solution du système.

On verra que la résolution d’un système de deux équations du premier degré à deux inconnues peut s’interpréter à l’aide de droites, et qu’un tel système peut parfois admettre une infinité de solutions ou bien n’admettre aucune solution.

Résoudre un problème à l’aide d’un système

Écrire un système de deux équations à deux inconnues correspondant à chacune des situations, puis le résoudre.

a. Trouver le prix d’une rose et le prix d’un bleuet.

b. Trouver la masse d’une poire et la masse d’une pomme.

Repère
Conseils

a. Nommez x le prix d’une rose et y le prix d’un bleuet, en euros.

b. Nommez x la masse d’une poire et y la masse d’une pomme, en g.

solution

a. D’après les conseils ci-dessus : $\{\begin{array}{c}4x+3y=\mathrm{5,5}\\ 3x+4y=5\end{array}$

En multipliant les deux membres de la première équation par –3 et les deux membres de la seconde par 4, on obtient : $\{\begin{array}{c}–12x–9y=–\mathrm{16,5}\\ 12x+16y=20\end{array}$

En additionnant les deux équations, on trouve : $7y=\mathrm{3,5}\Rightarrow y=\frac{\mathrm{3,5}}{7}=\mathrm{0,5}$.

En remplaçant y par 0,5 dans la seconde équation :

3x + 4 × 0,5 = 5 ⇒ 3x = 5 – 2 = 3 ⇒ x = 1

Une rose coûte donc 1 € et un bleuet 50 centimes.

b. D’après les conseils : $\{\begin{array}{c}4x=5y\\ x+3y=884\end{array}$. Donc $\{\begin{array}{c}x=\frac{5}{4}y=\mathrm{1,25}y\\ \mathrm{1,25}y+3y=884\end{array}$

La seconde équation fournit $\mathrm{4,25}y=884\Rightarrow y=\frac{884}{\mathrm{4,25}}=208$. Ensuite, en remplaçant y par 208 dans la seconde équation, on obtient : x = 1,25 × 208 = 260.

Une poire pèse 260 g et une pomme 208 g.