Expériences aléatoires et probabilités

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas connaître les résultats à coup sûr car ils dépendent du hasard. On doit alors recourir à des probabilités pour les étudier.

I Les objets ordinaires et les objets truqués

1 Les objets ordinaires

Lorsqu’on lance un dé parfaitement équilibré, on a une chance sur six d’obtenir un numéro donné (par exemple le 3), cinq chances sur six d’obtenir un numéro autre que le 4, une chance sur deux d’obtenir un numéro pair, etc.

On traduit ces affirmations par :

• la probabilité d’obtenir un numéro donné est égale à $\frac{1}{6}$ ;

• la probabilité d’obtenir un numéro autre que le 4 est égale à $\frac{5}{6}$ ;

• la probabilité d’obtenir un numéro pair est égale à $\frac{1}{2}$ ou à 0,5.

Lorsqu’on jette une pièce de monnaie parfaitement équilibrée, la probabilité d’obtenir « face » et celle d’obtenir « pile » sont toutes les deux égales à 0,5.

La probabilité qu’un œuf frais jeté du haut de la tour de Pise atterrisse intact au sol est égale à 0 : il n’a aucune chance d’atterrir intact. La probabilité qu’il fasse jour demain matin est égale à 1 : il fera jour demain matin à coup sûr.

2 Les objets truqués

Pour une pièce truquée, on ne peut plus énoncer les affirmations précédentes. Cependant, si on sait que la probabilité d’obtenir « pile » est égale à 0,55, alors la probabilité d’obtenir « face » est égale à 0,45 car 0,55 + 0,45 = 1.

De même, pour un dé pipé, si la probabilité d’obtenir un numéro autre que 4 est égale à 0,82 alors la probabilité d’obtenir 4 est égale à 0,18 car 1 – 0,82 = 0,18.

II L’idéal mathématique

Repère
À noter

On suppose que la pièce ne tombe jamais sur la tranche et que le dé n’est jamais « cassé » lorsqu’on les lance.

En mathématiques, lorsqu’on cherche à résoudre un problème de probabilité, les objets sont des objets idéaux, sauf mention du contraire. C’est pourquoi, lorsqu’on jette une pièce de monnaie ordinaire, la probabilité d’obtenir « pile » est égale à 0,5. Pour des dés ordinaires, la probabilité d’obtenir le 4 est égale à $\frac{1}{6}$, etc.

Reconnaître un objet truqué

Dans une urne, il y a une boule blanche et deux boules noires.

Les deux algorithmes suivants simulent l’expérience aléatoire consistant à choisir au hasard une boule, noter sa couleur puis la remettre dans l’urne et répéter cela 100 fois.

La variable prise contient un nombre aléatoire de l’intervalle [0 ; 1] qui change à chaque passage.

Que représente la valeur contenue dans la variable R après l’exécution de chacun des algorithmes ?

Algorithme 1

Algorithme 2

Repère
Conseils

La probabilité de tirer une boule blanche est de $\frac{1}{3}$.

solution

Algorithme 1

Il y a une chance sur trois pour que le nombre aléatoire soit inférieur à $\frac{1}{3}$, tout comme la probabilité de tirer la boule blanche dans l’urne.

Par conséquent le premier algorithme augmente la valeur de R d’une unité à chaque fois que la boule tirée est blanche.

C’est pourquoi R contient le nombre de boules blanches prélevées au bout des 100 tirages.

Algorithme 2

Après l’exécution du second algorithme, la variable R contient le nombre de boules noires tirées car il y a deux chances sur trois pour que le nombre aléatoire contenu dans prise soit inférieur à $\frac{2}{3}$ (ce qui est égal à la probabilité de tirer une boule noire dans l’urne également).