Dipôle RC : charge d’un condensateur

Dans un circuit RC série, la charge du condensateur est régie par une équation différentielle du 1^er ordre. Le temps caractéristique de la charge est égal au produit de la résistance par la capacité.

I) Modélisation de la charge d’un condensateur

L’association en série d’un conducteur ohmique de résistance R et d’un condensateur de capacité C constitue un dipôle RC.

À t = 0, on ferme l’interrupteur K afin de connecter le dipôle RC à une source idéale de tension E. La tension u_AB croît alors jusqu’à la valeur E. On dit que le condensateur se charge et on parle d’un régime transitoire.

Le régime est stationnaire lorsque la charge du condensateur n’évolue plus.

Pour t > 0, la loi des mailles et la loi d’Ohm permettent d’écrire : $Ri+u_{\text{AB}}=E$. Par ailleurs, en combinant $i=\frac{\text{d}{q}_A}{\text{d}t}$ et q_A = Cu_AB, on obtient, sachant que C est une constante : $i=C\frac{\text{d}{u}_{\text{AB}}}{\text{d}t}$. En reportant dans $Ri+u_{\text{AB}}=E$, on obtient l’équation différentielle du 1^er ordre : $RC\frac{\text{d}{u}_{\text{AB}}}{\text{d}t}+u_{\text{AB}}=E$.

L’équation différentielle a pour solution :

$u_{\text{AB}}\left(t\right)=E\left(1-{\text{e}}^{-\frac{t}{\text{τ}}}\right)$ avec : $\text{τ}=RC$ R en Ω ; C en F ; τ en s.

Au bout du temps caractéristique τ, appelé constante de temps du dipôle RC, le condensateur est chargé à 63 % : $u_{\text{AB}}\left(\text{τ}\right)= E\left(1-{\text{e}}^{-1}\right)=\mathrm{0,63}E$.

À noter

La signification de $\text{τ}=RC$ est à rapprocher de celle du temps caractéristique $\text{τ}=\frac{1}{\text{λ}}$ utilisé en radioactivité.

II) Courant de charge

La relation $i= C\frac{\text{d}{u}_{\text{AB}}}{\text{d}t}$ avec $u_{\text{AB}}\left(t\right)=E\left(1-{\text{e}}^{-\frac{t}{\text{τ}}}\right)$ donne : $i\left(t\right)=\frac{CE}{\text{τ}}{\text{e}}^{-\frac{t}{\text{τ}}}=\frac{E}{R}{\text{e}}^{-\frac{t}{\text{τ}}}$. Le courant de charge du condensateur décroît exponentiellement.

Méthode

Exploiter une courbe de charge d’un condensateur

On réalise le montage suivant, puis à la date t = 0, on ferme l’interrupteur K en déclenchant simultanément un chronomètre.

Conseils

Tracez la courbe représentative de u_AB = f(t) et la droite d’équation u_AB = E.

Solution

Par les deux méthodes, on obtient τ = 22 s.

L’expression de la constante de temps τ = RC donne :

$C=\frac{\text{τ}}{R}=\frac{22}{\mathrm{1,0}\times {10}^4}=\mathrm{2,2}\times {10}^{-3}\text{F}$ soit C = 2,2 mF.